Medida de Hausdorff

Em matemática, a medida de Hausdorff é um tipo de medida exterior cujo nome se deve ao matemático alemão Felix Hausdorff e que associa a cada subconjunto do espaço euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ um número real estendido não negativo. O conceito pode ser definido para qualquer espaço métrico.

A medida de Hausdorff em $\mathbb {R} ^{n}$ está definidade para cada dimensão d maior ou igual a 0 (onde d é um número real, não estanto restrito aos números inteiros). A medida de Hausdorff de dimensão 0 de um conjunto S é o número de pontos deste conjunto, a medida de dimensão 1 de uma curva retificável é o comprimento dela, a medida de dimensão 2 de uma superfície é a medida da sua área.^[1]

Definição

Seja X um espaço dotado da uma métrica $\rho \,$ .

O diâmetro de um conjunto U é:

{\hbox{diam}}(U)=\sup \left\{\rho (x,y):x,y\in U\right\}\,

Defina a seguinte quantidade:

H_{\delta }^{d}(S)=2^{-d}\alpha _{d}\inf {\Bigl \{}\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {diam} (U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supset S,\,\operatorname {diam} (U_{i})<\delta {\Bigr \}}.

em que:

\alpha _{d}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}} 1)}}.

Note-se que o ínfimo é tomado sobre todos as coberturas contáveis de S por conjuntos $\scriptstyle U_{i}\subset X$ de diâmetro menor que δ, e a constante $\alpha _{d}\,$ é o volume da esfera unitária.

É fácil ver que $\scriptstyle H_{\delta }^{d}(S)$ é monotonicamente decrescente em δ, uma vez que quanto maior δ, maior é a coleção de conjuntos permitida ao tomar o ínfimo. De onde, o limite $\scriptstyle \lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ existe.