Velocidade

Velocidade vetorial é a velocidade escalar em combinação com a direção do movimento de um objeto. A velocidade vetorial é um conceito fundamental na cinemática, o ramo da mecânica clássica que descreve o movimento dos corpos.

A velocidade vetorial é uma grandeza vetorial física: tanto a magnitude quanto a direção são necessárias para defini-la. O valor absoluto escalar (magnitude) da velocidade vetorial é chamado de velocidade escalar, sendo uma unidade derivada coerente cuja quantidade é medida no SI (sistema métrico) como metros por segundo (m/s ou m⋅s⁻¹). Por exemplo, “5 metros por segundo” é um escalar, enquanto “5 metros por segundo leste” é um vetor. Se houver uma mudança na velocidade escalar, direção ou ambas, diz-se que o objeto está sofrendo uma aceleração.

Definição

Velocidade média

A velocidade média de um objeto durante um período de tempo é sua mudança de posição, $\Delta s$ , dividida pela duração do período, $\Delta t$ , dada matematicamente como^[1] ${\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Velocidade instantânea

Exemplo de gráfico de velocidade versus tempo e a relação entre velocidade v no eixo y, aceleração a (as três linhas de tangentes verdes representam os valores de aceleração em diferentes pontos ao longo da curva), e deslocamento s (a área amarela sob a curva.)

A velocidade instantânea de um objeto é a velocidade média limite conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero. Em qualquer momento $t$ específico, pode ser calculada como a derivada da posição em relação ao tempo:^[2] ${\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {s}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {s}}}{dt}}.$

A partir desta equação derivada, no caso unidimensional pode-se ver que a área sob uma velocidade versus tempo (gráfico de $v$ versus $t$ ) é o deslocamento, $s$ . Em termos de cálculo, a integral da função de velocidade $v (t)$ é a função de deslocamento $s (t)$ . Na figura, isto corresponde à área amarela sob a curva. ${\boldsymbol {s}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt$

Embora o conceito de velocidade instantânea possa à primeira vista parecer contra-intuitivo, pode ser pensado como a velocidade com que o objeto continuaria a viajar se parasse de acelerar naquele momento.

Diferença entre as velocidades escalar e vetorial

Quantidades cinemáticas de uma partícula clássica: massa m, posição r, velocidade vetorial v, aceleração a.

Embora os termos velocidade escalar e velocidade vetorial sejam frequentemente usados coloquialmente de forma intercambiável para denotar a rapidez com que um objeto está se movendo, em termos científicos eles são diferentes. A velocidade escalar, a magnitude escalar de um vetor de velocidade, denota apenas a rapidez com que um objeto está se movendo, enquanto a velocidade vetorial indica a velocidade escalar e a direção de um objeto.^[3]^[4]^[5]

Para ter uma velocidade vetorial constante, um objeto deve ter uma velocidade escalar constante em uma direção constante. A direção constante restringe o objeto ao movimento em uma trajetória reta, portanto, uma velocidade vetorial constante significa movimento em linha reta a uma velocidade escalar constante.

Por exemplo, um carro que se move a uma velocidade constante de 20 quilômetros por hora em uma trajetória circular tem uma velocidade escalar constante, mas não tem velocidade vetorial constante porque sua direção muda. Portanto, considera-se que o carro está passando por uma aceleração.

Unidades

Como a derivada da posição em relação ao tempo dá a mudança na posição (em metros) dividida pela mudança no tempo (em segundos), a velocidade é medida em metros por segundo (m/s).

Equação de movimento

Velocidade média

A velocidade é definida como a taxa de mudança de posição em relação ao tempo, que também pode ser referida como velocidade instantânea para enfatizar a distinção da velocidade média. Em algumas aplicações, a velocidade média de um objeto pode ser necessária, ou seja, a velocidade constante que forneceria o mesmo deslocamento resultante que uma velocidade variável no mesmo intervalo de tempo, $v (t)$ , ao longo de algum período de tempo $Δ t$ . A velocidade média pode ser calculada como:^[6]^[7]

\mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {v} (t)dt}{t_{1}-t_{0}}}.

A velocidade média é sempre menor ou igual à velocidade escalar média de um objeto. Isso pode ser visto ao perceber que, enquanto a distância está sempre aumentando estritamente, o deslocamento pode aumentar ou diminuir em magnitude, bem como mudar de direção.

Em termos de um gráfico de deslocamento-tempo ( $x$ versus. $t$ ), a velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade) pode ser considerada como a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto, e a velocidade média como a inclinação da reta secante entre dois pontos com coordenadas $t$ iguais aos limites do período de tempo para a velocidade média.

Casos especiais

Quando uma partícula se move com diferentes velocidades escalares uniformes v₁, v₂, v₃, ..., v_n em diferentes intervalos de tempo t₁, t₂, t₃, ..., t_n respectivamente, então a velocidade escalar média sobre o tempo total da jornada é dada como ${\bar {v}}={v_{1}t_{1} v_{2}t_{2} v_{3}t_{3} \dots v_{n}t_{n} \over t_{1} t_{2} t_{3} \dots t_{n}}$

Se $t 1 = t 2 = t 3 = ... = t$ , então a velocidade escalar média é dada pela média aritmética das velocidades escalares ${\bar {v}}={v_{1} v_{2} v_{3} \dots v_{n} \over n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{v_{i}}$

Quando uma partícula se move em diferentes distâncias s₁, s₂, s₃,..., s_n com velocidades escalares v₁, v₂, v₃,..., v_n respectivamente, então a velocidade escalar média da partícula ao longo da distância total é dada como^[8]

${\bar {v}}={s_{1} s_{2} s_{3} \dots s_{n} \over t_{1} t_{2} t_{3} \dots t_{n}}={{s_{1} s_{2} s_{3} \dots s_{n}} \over {{s_{1} \over v_{1}} {s_{2} \over v_{2}} {s_{3} \over v_{3}} \dots {s_{n} \over v_{n}}}}$

Se $s 1 = s 2 = s 3 = ... = s$ , então a velocidade escalar média é dada pela média harmônica das velocidades escalares^[8] ${\bar {v}}=n\left({1 \over v_{1}} {1 \over v_{2}} {1 \over v_{3}} \dots {1 \over v_{n}}\right)^{-1}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{v_{i}}}\right)^{-1}$

Relação com a aceleração

Embora a velocidade seja definida como a taxa de mudança de posição, é comum começar com uma expressão para a aceleração de um objeto. Como visto pelas três linhas tangentes verdes na figura, a aceleração instantânea de um objeto em um ponto no tempo é a inclinação da linha tangente à curva de um gráfico $v (t)$ naquele ponto. Em outras palavras, a aceleração instantânea é definida como a derivada da velocidade em relação ao tempo:^[9] ${\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}$

A partir daí, a velocidade é expressa como a área sob um gráfico de aceleração versus tempo $a (t)$ . Como acima, isso é feito usando o conceito da integral: ${\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ dt$

Aceleração constante

No caso especial de aceleração constante, a velocidade pode ser estudada usando as equações de suvat. Ao considerar a como sendo igual a algum vetor constante arbitrário, isso mostra ${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}} {\boldsymbol {a}}t$ com $v$ como a velocidade no tempo $t$ e $u$ como a velocidade no tempo $t = 0$ . Ao combinar esta equação com a equação de suvat $x = u t a t 2 /2$ , é possível relacionar o deslocamento e a velocidade média por ${\boldsymbol {x}}={\frac {({\boldsymbol {u}} {\boldsymbol {v}})}{2}}t={\boldsymbol {\bar {v}}}t$ Também é possível derivar uma expressão para a velocidade independente do tempo, conhecida como equação de Torricelli, da seguinte forma: $v^{2}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}} {\boldsymbol {a}}t)\cdot ({\boldsymbol {u}} {\boldsymbol {a}}t)=u^{2} 2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}}) a^{2}t^{2}$ $(2{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {x}}=(2{\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {u}}t {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2})=2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}}) a^{2}t^{2}=v^{2}-u^{2}$ $\therefore v^{2}=u^{2} 2({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}})$ onde $v = | v |$ etc.

As equações acima são válidas tanto para a mecânica newtoniana quanto para a relatividade especial. Onde a mecânica newtoniana e a relatividade especial diferem é em como diferentes observadores descreveriam a mesma situação. Em particular, na mecânica newtoniana, todos os observadores concordam com o valor de $t$ e as regras de transformação para posição criam uma situação na qual todos os observadores não aceleradores descreveriam a aceleração de um objeto com os mesmos valores. Nenhuma das duas é verdadeira para a relatividade especial. Em outras palavras, apenas a velocidade relativa pode ser calculada.

Quantidades que dependem da velocidade

Momento

Na mecânica clássica, a segunda lei de Newton define momento (momentum), p, como um vetor que é o produto da massa e velocidade de um objeto, dado matematicamente como ${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$ onde m é a massa do objeto.

Energia cinética

A energia cinética de um objeto em movimento depende de sua velocidade e é dada pela equação^[10] $E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ onde E_k é a energia cinética. A energia cinética é uma quantidade escalar, pois depende do quadrado da velocidade.

Arrasto (resistência de fluido)

Na dinâmica de fluidos, o arrasto é uma força que atua em oposição ao movimento relativo de qualquer objeto que se move em relação a um fluido circundante. A força de arrasto, $F_{D}$ , depende do quadrado da velocidade e é dada como $F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A$ onde

$\rho$ é a densidade do fluido;^[11]
$v$ é a velocidade do objeto em relação ao fluido;
$A$ é a área da seção transversal;
$C_{D}$ é o coeficiente de arrasto – um número adimensional.

Velocidade de escape

A velocidade de escape é a velocidade escalar mínima que um objeto balístico precisa para escapar de um corpo massivo como a Terra. Ela representa a energia cinética que, quando adicionada à energia potencial gravitacional do objeto (que é sempre negativa), é igual a zero. A fórmula geral para a velocidade de escape de um objeto a uma distância r do centro de um planeta com massa M é^[12] $v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},$ onde G é a constante gravitacional e g é a aceleração gravitacional. A velocidade de escape da superfície da Terra é de cerca de 11.200 m/s, e é independente da direção do objeto. Isso torna "velocidade de escape" um tanto impróprio, pois o termo mais correto seria "velocidade escalar de escape": qualquer objeto que atinja uma velocidade dessa magnitude, independentemente da atmosfera, deixará a vizinhança do corpo base, desde que não intersecte com algo em seu caminho.

O fator de Lorentz da relatividade especial

Na relatividade especial, o fator de Lorentz adimensional aparece frequentemente e é dado por^[13] $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ onde γ é o fator de Lorentz e c é a velocidade escalar da luz.

Velocidade relativa

A velocidade relativa é uma medida da velocidade entre dois objetos determinada em um único sistema de coordenadas. A velocidade relativa é fundamental tanto na física clássica quanto na moderna, uma vez que muitos sistemas da física lidam com o movimento relativo de duas ou mais partículas.

Considere um objeto A movendo-se com vetor de velocidade v e um objeto B com vetor de velocidade w; essas velocidades absolutas são normalmente expressas no mesmo referencial inercial. Então, a velocidade do objeto A em relação ao objeto B é definida como a diferença dos dois vetores de velocidade: ${\boldsymbol {v}}_{A{\text{ em relação a }}B}={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {w}}$ Da mesma forma, a velocidade relativa do objeto B movendo-se com velocidade w, em relação ao objeto A movendo-se com velocidade v é: ${\boldsymbol {v}}_{B{\text{ em relação a }}A}={\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {v}}$ Normalmente, o referencial inercial escolhido é aquele em que o último dos dois objetos mencionados está em repouso.

Na mecânica newtoniana, a velocidade relativa é independente do referencial inercial escolhido. Este não é mais o caso da relatividade especial, na qual as velocidades dependem da escolha do referencial.

Velocidades escalares

No caso unidimensional, as velocidades são escalares e a equação é: $v_{\text{rel}}=v-(-w),$ se os dois objetos estiverem se movendo em direções opostas, ou: $v_{\text{rel}}=v-( w),$ se os dois objetos estiverem se movendo na mesma direção.

Sistemas de coordenadas

Coordenadas cartesianas

Em sistemas de coordenadas cartesianas multidimensionais, a velocidade é dividida em componentes que correspondem a cada eixo dimensional do sistema de coordenadas. Em um sistema bidimensional, onde há um eixo x e um eixo y, os componentes de velocidade correspondentes são definidos como:^[14] $v_{x}=dx/dt$ $v_{y}=dy/dt$ O vetor de velocidade bidimensional é então definido como ${\textbf {v}}=<v_{x},v_{y}>$ . A magnitude deste vetor representa a velocidade escalar e é encontrada pela fórmula de distância como: $|v|={\sqrt {v_{x}^{2} v_{y}^{2}}}$ Em sistemas tridimensionais onde há um eixo z adicional, o componente de velocidade correspondente é definido como: $v_{z}=dz/dt$ O vetor de velocidade tridimensional é definido como ${\textbf {v}}=<v_{x},v_{y},v_{z}>$ com sua magnitude também representando a velocidade escalar e sendo determinada por: $|v|={\sqrt {v_{x}^{2} v_{y}^{2} v_{z}^{2}}}$ Enquanto alguns livros didáticos usam a notação subscrita para definir componentes cartesianos de velocidade, outros usam $u$ , $v$ , e $w$ para os eixos $x$ , $y$ , e $z$ , respectivamente.^[15]

Coordenadas polares

Representação dos componentes radial e tangencial da velocidade em diferentes momentos do movimento linear com velocidade constante do objeto ao redor de um observador O (corresponde, por exemplo, à passagem de um carro em uma rua reta ao redor de um pedestre parado na calçada). O componente radial pode ser observado devido ao efeito Doppler, o componente tangencial causa mudanças visíveis da posição do objeto.

Em coordenadas polares, uma velocidade bidimensional é descrita por uma velocidade radial, definida como o componente da velocidade para longe ou em direção à origem, e uma velocidade transversal, perpendicular à radial.^[16]^[17] Ambas surgem da velocidade angular, que é a taxa de rotação em torno da origem (com quantidades positivas representando a rotação no sentido anti-horário e quantidades negativas representando a rotação no sentido horário, em um sistema de coordenadas destro).

As velocidades radial e transversal podem ser derivadas dos vetores de velocidade e deslocamento cartesianos decompondo o vetor de velocidade em componentes radial e transversal. A velocidade transversal é o componente da velocidade ao longo de um círculo centrado na origem. ${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{T} {\boldsymbol {v}}_{R}$ onde:

${\boldsymbol {v}}_{T}$ é a velocidade transversal;
${\boldsymbol {v}}_{R}$ é a velocidade radial.

A velocidade escalar radial (ou magnitude da velocidade radial) é o produto escalar do vetor de velocidade e o vetor unitário na direção radial. $v_{R}={\frac {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{\left|{\boldsymbol {r}}\right|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {r}}}$ onde ${\boldsymbol {r}}$ é a posição e ${\hat {\boldsymbol {r}}}$ é a direção radial.

A velocidade escalar transversal (ou magnitude da velocidade transversal) é a magnitude do produto cruzado do vetor unitário na direção radial e o vetor de velocidade. É também o produto escalar da velocidade e a direção transversal, ou o produto da velocidade escalar angular $\omega$ e o raio (a magnitude da posição). $v_{T}={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {t}}}=\omega |{\boldsymbol {r}}|$ tal que: $\omega ={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}$ Momento angular na forma escalar é a massa vezes a distância até a origem vezes a velocidade transversal, ou equivalentemente, a massa vezes a distância ao quadrado vezes a velocidade escalar angular. A convenção de sinais para momento angular é a mesma que para velocidade angular. $L=mrv_{T}=mr^{2}\omega$ onde:

$m$ é a massa;
$r=|{\boldsymbol {r}}|$

A expressão $mr^{2}$ é conhecida como momento de inércia. Se as forças estão na direção radial apenas com uma dependência inversa do quadrado, como no caso de uma órbita gravitacional, o momento angular é constante, e a velocidade escalar transversal é inversamente proporcional à distância, a velocidade escalar angular é inversamente proporcional à distância ao quadrado, e a taxa na qual a área é varrida é constante. Essas relações são conhecidas como leis de Kepler do movimento planetário.

Ver também

Hipervelocidade
Quadrivelocidade (versão relativística da velocidade para o espaço-tempo de Minkowski)
Rapidez (uma versão de velocidade aditiva em velocidades escalares relativísticas)
Velocidade de fase
Velocidade de fluxo
Velocidade própria (na relatividade, usando o tempo do viajante em vez do tempo do observador)
Velocidade terminal

Notas

Robert Resnick and Jearl Walker, Fundamentals of Physics, Wiley; 7 Sub edition (em inglês) (16 de junho de 2004). ISBN 0-471-23231-9.

Referências

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Ligações externas

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[1] «The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 8: Motion». www.feynmanlectures.caltech.edu (em inglês). Consultado em 5 de janeiro de 2024

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[10] David Halliday; Robert Resnick; Jearl Walker (2010). Fundamentals of Physics, Chapters 33-37 (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. p. 1080. ISBN 978-0-470-54794-6 Extrato da página 1080

[11] Para atmosfera da Terra, a densidade do ar pode ser encontrada usando a fórmula barométrica. É 1,293 kg/m³ a 0 °C e 1 atmosfera.

[12] Jim Breithaupt (2000). New Understanding Physics for Advanced Level (em inglês) illustrated ed. [S.l.]: Nelson Thornes. p. 231. ISBN 978-0-7487-4314-8 Extrato da página 231

[13] Eckehard W Mielke (2022). Modern Aspects Of Relativity (em inglês). [S.l.]: World Scientific. p. 98. ISBN 978-981-12-4406-3 Extrato da página 98

[14] «The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 9: Newton's Laws of Dynamics». www.feynmanlectures.caltech.edu (em inglês). Consultado em 4 de janeiro de 2024

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[16] E. Graham; Aidan Burrows; Brian Gaulter (2002). Mechanics, Volume 6 (em inglês) illustrated ed. [S.l.]: Heinemann. p. 77. ISBN 978-0-435-51311-5 Extrato da página 77

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