Teorema de Green

Em matemática, o teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva, em outras palavras, ele estabelece uma relação entre a integral dupla de uma região D e a integral de linha ao longo de sua fronteira. Este teorema foi demonstrado pelo matemático britânico George Green em 1828 e é um caso particular do Teorema de Stokes.

Enunciado

Folha de rosto do livro Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism, de 1828, em que se encontra a primeira demonstração do teorema de Green.

Seja C uma curva simples, fechada e derivável, D a região do plano delimitada por C, e P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas numa região contendo D, então:

$\int _{C}(Pdx Qdy)=\int \!\!\!\int _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dA$

Para evidenciar o fato de que a primeira integral é definida ao longo de uma curva fechada, por vezes esta é representada por:

$\oint _{C}(Pdx Qdy)$

Relação com o teorema de Stokes

O teorema de Green é um caso especial do Teorema de Kelvin-Stokes quando é aplicado a uma região no plano-xy.

Podemos aumentar o campo vetorial de duas dimensões a um de três dimensões no qual a componente z é constante e igual a zero.

Vamos escrever F como uma função vetorial $\mathbf {F} =(P,Q,0)$. Começaremos com o lado esquerdo do teorema de Green:

$\oint _{C}(P\,dx Q\,dy)=\oint _{C}(P,Q,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .$

Aplicando o teorema de Kelvin-Stokes:

$\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.$

A superfície $S$ é simplesmente a região no plano $D$, com o vetor normal unitário $\mathbf {\hat {n}}$ apontando na direção positiva de z, de tal maneira que coincida com as definições de "orientação positiva" para ambos os teoremas (Green e Stokes). Logo, se verifica $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {k}$.

Desse modo, a expressão dentro da integral fica:

$\nabla \ \times \ \mathbf {F} \ \cdot \ \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathbf {i} \left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right).$

Desta maneira obtemos o lado direito do teorema de Green:

$\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA.$

Relação com o teorema da divergência

Outro modo de análise se dá pelo teorema da divergência, o qual pode ser aplicado a qualquer número de dimensões e se trata de um caso especial do teorema de Stokes. Em duas dimensões, é equivalente ao teorema de Green.

$\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds,$ onde $\mathbf {\hat {n}}$ é o vetor normal apontando para fora da fronteira.

Para entender, considere a unidade normal na parte direita da equação. Como $d\mathbf {r} =(dx,dy)$ é um vetor apontando tangencialmente através de uma curva, e a curva C está orientada de maneira positiva através da fronteira, um vetor normal apontando para fora da fronteira seria aquele que aponta em 90º horizontalmente, o qual poderia ser $(dy,-dx)$. O módulo de este vetor é ${\sqrt {dx^{2} dy^{2}}}=ds$. Portanto $\mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds=(dy,-dx)$.

Tomando as componentes de $\mathbf {F} =(Q,-P)$, o lado direito se converte em

$\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds{\mbox{ }}=\int _{C}(Q,-P)\cdot (dy,-dx)=\int _{C}(Q{\mbox{ }}dy P{\mbox{ }}dx)$

que por meio do teorema de Green resulta em:

$\int _{C}(P{\mbox{ }}dx{\mbox{ }} {\mbox{ }}Q{\mbox{ }}dy)=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (Q,-P)\right)dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA$

Cálculo de área

A utilização do teorema de Green permite calcular a área delimitada por uma curva parametrizada e fechada.

Seja $D$ um domínio do plano ao qual o teorema de Green se aplica e seja $C=\partial D$ a fronteira, orientada positivamente em relação a $D$. Temos:

$${\mathcal {A(D)}}=\iint _{\mathcal {D}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{\mathcal {C}}-y\mathrm {d} x=\int _{\mathcal {C}}x\mathrm {d} y=1/2\int _{\mathcal {C}}-y\mathrm {d} x x\mathrm {d} y$$

e tendo respectivamente $P\left(x,y\right)=-y$ e $Q\left(x,y\right)=0$, ou $P\left(x,y\right)=0$ e $Q\left(x,y\right)=x$, ou enfim $P\left(x,y\right)=-y/2$ e $Q\left(x,y\right)=x/2$, cada um desses três casos verifica que ${\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}=1.$

Vamos mostrar o exemplo de uma elipse cuja borda é parametrizada por:

$$t\mapsto \left(a\cos {t},b\sin {t}\right)$$

Onde t pertence aos reais e variando de 0 até 2π.

Temos:

$P\left(x,y\right)\,\mathrm {d} x=-{\frac {y}{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {b\sin(t)}{2}}a\sin(t)\,\mathrm {d} t$ $e$ $Q\left(x,y\right)\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2}}\,\mathrm {d} y={\frac {a\cos(t)}{2}}b\cos(t)\,\mathrm {d} t$

Obtendo:

$${\mathcal {A}}=1/2\int _{\mathcal {C}}-y\mathrm {d} x x\mathrm {d} y=\int _{0}^{2\pi }{\frac {ab}{2}}\mathrm {d} t=\pi ab.$$

Demostramos, então, que a área da elipse de semi-eixos a e b é πab.

Ver também

• Identidades de Green