Paralelogramo

Um paralelogramo é um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos e lados opostos congruentes.

Um paralelogramo.

Definição

Paralelogramo $ABCD$ e suas diagonais ${\overline {AC}}$ e ${\overline {BD}}$.

Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo cujos lados opostos são paralelos. Um paralelogramo também é qualquer retângulo que passou pelo processo de Transformação de cisalhamento em geometria plana.

Elementos

Um paralelogramo $ABCD$ tem:

• quatro lados - os segmentos de reta ${\overline {AB}}$, ${\overline {BC}}$, ${\overline {CD}}$ e ${\overline {DA}}$;
• quatro vértices - os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$;
• quatro ângulos internos - os ângulos $B{\hat {A}}D$, $A{\hat {B}}C$, $B{\hat {C}}D$, $C{\hat {D}}A$;
• quatro ângulos externos - os respectivos ângulos suplementares dos ângulos internos;
• duas diagonais - os segmentos de reta ${\overline {AC}}$ e ${\overline {BD}}$.

Propriedades

Um paralelogramo possui:

1. lados opostos congruentes;
2. ângulos opostos congruentes;
3. suas diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios;
4. ângulos colaterais suplementares;
5. a soma dos ângulos internos igual a $360^{\circ }$;
6. a soma dos ângulos externos igual a $360^{\circ }$;

Observamos que todo quadrilátero convexo plano que possui uma das propriedades 1., 2. ou 3. é um paralelogramo. Existe, portanto, uma reciprocidade em relação a cada uma destas propriedades com a definição de paralelogramo dada acima.

Além disso, notamos que qualquer diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

Demonstrações das propriedades

Paralelogramo: ângulos e lados opostos congruentes.

1. Lados opostos congruentes

Dado o paralelogramo $ABCD$, mostraremos que ${\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}$ e ${\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}$. Para tanto, traçamos a diagonal ${\overline {AC}}$. Como ${\overline {AB}}/\!/{\overline {DC}}$ e ${\overline {AD}}/\!/{\overline {BC}}$, tomando ${\overleftrightarrow {AC}}$ como transversal temos que $D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A$ (alternos internos) e $D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C$ (alternos internos). Assim, pelo caso de congruência de triângulos ângulo, lado, ângulo (ALA) temos:

$\triangle ADC\equiv \triangle CBA\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A\\{\overline {AC}}\equiv {\overline {CA}}\\D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C\end{matrix}}\right.\Rightarrow {\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}{\text{ e }}{\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}.$

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero $ABCD$ convexo plano, cujos lados opostos sejam congruentes é um paralelogramo. Com efeito, pela congruência de triângulos lado-lado-lado (LLL), temos que ${\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}$ e ${\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}$, implica $\triangle ADC\equiv \triangle ABC$. Logo, são congruentes os ângulos $B{\hat {A}}C$ e $A{\hat {C}}D$, o que implica ${\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}$. Um raciocínio análogo mostra que ${\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}}$. Ou seja, lados opostos congruentes implica lados opostos paralelos. Isso conclui esta demonstração.

2. Ângulos opostos congruentes

Dado o paralelogramo $ABCD$, mostraremos que $B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D$ e $A{\hat {B}}C\equiv A{\hat {D}}C$. A partir da demostração anterior temos que:

$(1)\quad D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A$

e

$(2)\quad D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C$.

Como $B{\hat {A}}D=B{\hat {A}}C D{\hat {A}}C$ então substituindo (2) em (3) temos:

$(3)\quad B{\hat {A}}D=D{\hat {C}}A D{\hat {A}}C$.

E, temos ainda $B{\hat {C}}D=B{\hat {C}}A D{\hat {C}}A$, que usando (1) fornece:

$(4)\quad B{\hat {C}}D=D{\hat {A}}C D{\hat {C}}A$.

De (3) e (4), concluímos que $B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D$. Para o caso $A{\hat {B}}C\equiv A{\hat {D}}C$ o raciocínio é análogo.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero $ABCD$ convexo plano, cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo. Com efeito, temos $B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D$ e $A{\hat {D}}C\equiv A{\hat {B}}C$, logo $B{\hat {A}}D A{\hat {D}}C=A{\hat {B}}C B{\hat {C}}D$. Como $B{\hat {A}}D A{\hat {D}}C A{\hat {B}}C B{\hat {C}}D=360^{\circ }$, segue que $B{\hat {A}}D A{\hat {D}}C=180^{\circ }$. Portanto, ${\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}$. Um raciocínio análogo prova que ${\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}}$. Isso completa a prova.

3. Diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios

Diagonais se intersectam no ponto médio.

Seja $ABCD$ um paralelogramo e consideremos suas diagonais ${\overline {AC}}$ e ${\overline {BD}}$. Denotamos por $E$ a interseção destas diagonais. Como ${\overleftrightarrow {AB}}$ e ${\overleftrightarrow {CD}}$ são paralelas, temos que os ângulos $C{\hat {D}}E$ e $A{\hat {B}}E$ são congruentes (ângulos alternos internos). Pelo mesmo motivo, são congruentes os ângulos $B{\hat {A}}E$ e $D{\hat {C}}E$. Como ${\overline {AB}}$ e ${\overline {CD}}$ são congruentes, pela congruência ângulo-lado-ângulo (ALA) de triângulos, temos que:

$\triangle CDE\equiv \triangle ABE\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}C{\hat {D}}E\equiv A{\hat {B}}E\\{\overline {CD}}\equiv {\overline {AB}}\\D{\hat {C}}E\equiv B{\hat {A}}E\end{matrix}}\right.\Rightarrow {\overline {AE}}\equiv {\overline {CE}}{\text{ e }}{\overline {DE}}\equiv {\overline {EB}}.$

Assim temos que $E$ é ponto médio de ${\overline {AC}}$ e ${\overline {BD}}$, logo $E$ é ponto médio e intersecção das diagonais.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero $ABCD$ plano convexo, cujas diagonais interceptam-se nos seus pontos médios é um paralelogramo. Com efeito, seja $E$ o ponto de interseção das diagonais ${\overline {AC}}$ e ${\overline {BD}}$. Como ${\overline {AE}}\equiv {\overline {CE}}$, ${\overline {BE}}\equiv {\overline {DE}}$ e $A{\hat {E}}B\equiv C{\hat {E}}D$, temos da congruência de triângulos lado-ângulo-lado (LAL) que $\triangle ABE\equiv \triangle CDE$. Donde seque que ${\overline {AB}}\equiv {\overline {CD}}$. Analogamente, vemos que ${\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}$. Agora, da recíproca da propriedade 1. (lados opostos congruentes), temos que os lados opostos são paralelos, como queríamos demonstrar.

4. Ângulos consecutivos suplementares

Demonstração da propriedade

Seja $ABCD$ um paralelogramo. Mostraremos que os ângulos consecutivos $C{\hat {D}}A$ e $B{\hat {A}}D$ são suplementares. Com efeito, como ${\overleftrightarrow {AB}}$ e ${\overleftrightarrow {CD}}$ são paralelas e ${\overleftrightarrow {AD}}$ é uma transversal, temos que $C{\hat {D}}A\equiv B{\hat {A}}E$ (1) (ângulos correspondentes). Vemos, imediatamente, que $B{\hat {A}}E$ e $B{\hat {A}}D$ são suplementares, ou seja:

$B{\hat {A}}E B{\hat {A}}D=180^{\circ }$ (2)

e substituindo (1) em (2) temos:

$C{\hat {D}}A B{\hat {A}}D=180^{\circ }$

como queríamos demonstrar. As demonstrações para os demais ângulos consecutivos são análogas.

5. Soma dos ângulos internos

Segue imediatamente da propriedade 4. que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é $360^{\circ }$.

6. Soma dos ângulos externos

Uma vez que em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e os ângulos internos consecutivos são suplementares, temos que os ângulos externos consecutivos também são suplementares. Como são quatro, temos que a soma dos ângulos externos é $360^{\circ }$.

Perímetro

Denotando por $a$ e $b$ os comprimentos de dois de seus lados não-paralelos, seu perímetro pode ser calculado através da fórmula abaixo:

$P=2(a b)$

Área

Paralelogramo de base $b$ e altura $h$.

A área de um paralelogramo é dada por:

$A=b\cdot h$

onde, $b$ é o comprimento de qualquer um de seus lados e $h$ é a altura relativa a este lado, i.e. o comprimento do segmento de reta perpendicular que liga este lado ao seu oposto.

Equivalentemente, temos:

$A=a\cdot b\cdot \operatorname {sen} \alpha$

onde, $a$ e $b$ são os comprimentos de dois lados adjacentes e $\alpha$ é o ângulo definido por estes lados.

Ou, ainda, a área pode ser calculado por:

$A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}\cdot \operatorname {sen} \alpha }{2}}$

Paralelogramo $ABCD$, sendo $E$ o ponto de interseção de suas diagonais ${\overline {AC}}$ e ${\overline {DE}}$.

onde, $d_{1}$ e $d_{2}$ são os comprimentos das diagonais do paralelogramo e $\alpha$ é um dos ângulos definido pela interseção das diagonais. Com efeito, seja $ABCD$ um paralelogramo (veja figura ao lado). Suas diagonais se interceptam em um ponto $E$ determinando quatro triângulos $AEB$, $BEC$, $CED$, $DEA$. Do fato de que lados opostos de um paralelogramo serem congruentes e de que $E$ é ponto médio de ambas diagonais, temos que os triângulos $AEB$ e $CED$ são congruentes, assim como os triângulos $BEC$ e $DEA$. Notamos que a área do paralelogramo é a soma das áreas dos quatro triângulos. Ou seja, denotando por $d_{1}$ e $d_{2}$ os comprimentos das diagonais $AC$ e $DE$, respectivamente, temos:

$A=2{\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}\operatorname {sen} \alpha 2{\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}\operatorname {sen} (180^{\circ }-\alpha ).$

Aqui, $\alpha$ é o menor ângulo definido pelas diagonais. Temos utilizado que a área de um triângulo $FGH$ pode ser calculada por:

$A_{FGH}={\frac {|FG|\cdot |GH|}{2}}\operatorname {sen} F{\hat {G}}H$.

Por fim, como $\operatorname {sen} \alpha =\operatorname {sen} (180^{\circ }-\alpha )$, segue o resultado desejado.

Ver também

Existem três paralelogramos especiais:

• retângulo;
• quadrado;
• losango.