Base ortonormal

Em álgebra linear, uma base $\gamma$ composta pelos vetores ${\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}},{\vec {u_{3}}},...$ de um espaço vetorial $V$ é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal, seus vetores forem unitários. Ser ortogonal significa que o produto interno entre pares de vetores distintos dessa base são igual a zero, ou seja,

${\vec {u_{i}}}\cdot {\vec {u_{j}}}=0$

$\forall i\neq j$.

Ademais, estar normalizado significa que os vetores da base são todos unitários, ou seja,

$|{\vec {u_{i}}}|=1$ para $i=1,2,3,...$.

Essas duas definições podem ser condensadas assim:

${\vec {u_{i}}}\cdot {\vec {v_{j}}}=\delta _{ij}$, onde $\delta _{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}0&i\neq j\\1&i=j\end{array}}\right.\quad$

Normalização

Para transformar uma base ortogonal $\gamma$ qualquer em ortonormal, basta fazer com que o conjunto de seus vetores tenham módulo igual a 1. Se a base é composta por ${\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}},{\vec {u_{3}}},...$, pode-se realizar isso por meio da divisão de cada vetor pelo seu respectivo módulo, um processo nomeado normalização. Em outras palavras:

${{\hat {u}}_{i}}={\frac {{\vec {u}}_{i}}{|{\vec {u}}_{i}|}}$ para $i=1,2,3,...$

em que ${\hat {u}}$ indica que este é um vetor unitário. A nova base $\beta$ composta por ${\hat {u_{1}}},{\hat {u_{2}}},{\hat {u_{3}}},...$ será então uma base ortonormal.

Exemplo 1

Dada a base ortogonal $\alpha$ composta pelos vetores $({\sqrt {7}},0,0),(0,1,0)$ e $(0,0,-13)$, determine uma base ortonormal que gere o mesmo espaço vetorial.

Ao realizar o produto interno entre pares de vetores distintos, verifica-se que a base é de fato ortogonal. Para torná-la ortonormal, deve-se dividir cada vetor pelo seu módulo:

${\hat {v}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {({\sqrt {7}})^{2}}}}({\sqrt {7}},0,0)=(1,0,0)$

${\hat {v}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {1^{2}}}}(0,1,0)=(0,1,0)$

${\hat {v}}_{3}={\frac {1}{\sqrt {(-13)^{2}}}}(0,0,-13)=(0,0,1)$

Os vetores $(1,0,0),(0,1,0)$ e $(0,0,1)$ formam, então, uma base ortonormal. Essa é a base canônica em $\mathbb {R} ^{3}$.

Exemplo 2

Dado o conjunto formado pelos vetores $(0,0,0,1,0,1)$ e $(-1,1,1,2,0,-2)$, encontre uma base ortonormal que gere o mesmo espaço.

Realizando o produto interno entre os dois vetores, verifica-se a ortogonalidade entre eles. Agora, é necessário torná-los unitários:

${\hat {u}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {1^{2} 1^{2}}}}(0,0,0,1,0,1)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(0,0,0,1,0,1)$

${\hat {u}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {(-1)^{2} 1^{2} 1^{2} 2^{2} (-2)^{2}}}}(-1,1,1,2,0,-2)={\frac {1}{\sqrt {11}}}(-1,1,1,2,0,-2)$

Logo, ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(0,0,0,1,0,1)$ e ${\frac {1}{\sqrt {11}}}(-1,1,1,2,0,-2)$ compõem uma base ortonormal.

Ver também

• Base ortogonal
• Matriz normal
• Processo de Gram-Schmidt
• Vetor unitário

Bibliografia

1. Seymour Lipschutz, Marc Lipson, Algebra Linear: Coleção Schaum , Bookman, 2011 ISBN 8-540-70041-7
2. Alesio João de Caroli, Carlos Alberto Callioli, Miguel Oliva Feitosa, Matrizes vetores geometria analítica , NBL Editora, 1986 ISBN 8-521-30406-4
3. Antonio Fernando Ribeiro De Toledo Piza, Mecânica Quântica Vol. 51, EdUSP, 2003 ISBN 8-531-40748-6
4. Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Matemática Avançada para Engenharia - Vol II, Volume 2, Bookman, 2009 ISBN 8-577-80497-6
5. Paulo S. R. Diniz, Eduardo A. B. da Silva, Sergio L. Netto, Processamento Digital de Sinais - 2.ed.: Projeto e Análise de Sistemas , Bookman Editora, 2014 ISBN 8-582-60124-7
6. Avinash Chandra Bajpai, L. R. Mustoe, Dennis Walker, Advanced Engineering Mathematics, Hemus, 1977 ISBN 0-471-99520-7
7. HELIO MAGALHAES DE OLIVEIRA, Análise de Sinais para Engenheiros, Brasport ISBN 8-574-52283-X
8. A. Quarteroni, F. Saleri, CÁLCULO CIENTÍFICO com MATLAB e Octave, Springer Science & Business Media, 2007 ISBN 8-847-00718-6

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Base Ortonormal». MathWorld (em inglês)  (em inglês)