Ângulo inscrito

Em geometria, um ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo (ou, em casos extremos, quando uma reta secante e uma reta tangente do círculo) intersectam o círculo por um ponto comum.

Tipicamente, é mais fácil pensar em um ângulo inscrito como definido por duas cordas do círculo dividindo um ponto.

As propriedades básicas dos ângulos inscritos são discutidas nas proposições 20-22 do livro 4 dos Elementos de Euclides. Essas proposições garantem que o ângulo inscrito tem a metade da medida do ângulo central correspondente, que ângulos inscritos em um mesmo arco de uma corda são iguais e que a soma dos dois ângulos inscritos distintos correspondentes a uma determinada corda é 180°.

Medida do ângulo inscrito

Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco correspondente.

Assim, seja $A{\hat {V}}B$ o ângulo inscrito de medida $\alpha$ e $A{\hat {O}}B$ o ângulo central correspondente de medida $\beta .$

Têm-se:

$\alpha ={\frac {\beta }{2}}$ ou $\alpha ={\frac {\widehat {AB}}{2}}$

Demonstração

Para demonstrar essa propriedade é preciso considerar 3 casos:

1. $O$ está num lado do ângulo.
2. $O$ é interno ao ângulo.
3. $O$ é externo ao ângulo.

   

   

1° Caso

Têm-se que ${\overline {OV}}\equiv {\overline {OA}},$ pois ambos são raios da circunferência.

Assim tem-se que $\triangle {OVA}$ é isósceles, o que implica ${\hat {V}}=\alpha$ e ${\hat {A}}=\alpha .$

Ainda no triângulo $OVA$ tem-se $\beta$ como sendo um ângulo externo. Logo, pelo teorema do ângulo externo, tem-se:

$\beta ={\hat {A}} {\hat {V}}\qquad \Longrightarrow \qquad \beta =\alpha \alpha \qquad \Longrightarrow \qquad \beta =2\alpha .$

Logo, $\alpha ={\frac {\beta }{2}}$ e, como $\beta ={\widehat {AB}},$ vem $\alpha ={\frac {\widehat {AB}}{2}}.$

2° Caso

Tomando um ponto $C,$ sendo a intersecção de ${\overrightarrow {OV}}$ com a circunferência e, sendo:

$A{\hat {V}}C=\alpha _{1},$ $A{\hat {O}}C=\beta _{1},$ $C{\hat {V}}B=\alpha _{2}$ e $C{\hat {O}}B=\beta _{2}.$

Analisando esse ângulos, pode-se observar que $\alpha _{1}$ é ângulo inscrito de arco correspondente $\beta _{1}$ e que $\alpha _{2}$ é ângulo inscrito de arco correspondente $\beta _{2}.$

Assim é possível relacionar esses dois ângulos, conforme foi demonstrado no 1° caso.

${\begin{cases}\beta _{1}=2\alpha _{1}\\\beta _{2}=2\alpha _{2}\end{cases}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\beta _{1} \beta _{2}=2(\alpha _{1} \alpha _{2})}\qquad \beta =2\alpha$

Logo, $\alpha ={\frac {\beta }{2}}$ e, como $\beta ={\widehat {AB}},$ vem $\alpha ={\frac {\widehat {AB}}{2}}.$

3° Caso

Tomando um ponto $C$ de intersecção de ${\overrightarrow {VO}}$ com a circunferência e, sendo:

$B{\hat {V}}C=\alpha _{1},$ $B{\hat {O}}C=\beta _{1},$ $A{\hat {V}}C=\alpha _{2}$ e $A{\hat {O}}C=\beta _{2}.$

Com isso, tem-se, seguindo o que foi demonstrado no primeiro caso:

${\begin{cases}\beta _{1}=2\alpha _{1}\\\beta _{2}=2\alpha _{2}\end{cases}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\beta _{1}-\beta _{2}=2(\alpha _{1}-\alpha _{2})}$

Visto que $\beta =\beta _{1}-\beta _{2}$ e $\alpha =\alpha _{1}-\alpha _{2},$ tem-se: $\beta =2\alpha$

Logo, $\alpha ={\frac {\beta }{2}}$ e, como $\beta ={\widehat {AB}},$ vem $\alpha ={\frac {\widehat {AB}}{2}}.$

Logo, um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente.

Ligações externas

• «Munching on Inscribed Angles»  at Cut-the-Knot
• «Inscribed Angle»  With interactive animation
• «Angle inscribed in a semicircle»  With interactive animation
• «Arc Peripheral (inscribed) Angle»  With interactive animation
• «Arc Central Angle Theorem»  With interactive animation