Wielokąt monotoniczny

Dwa górne wielokąty są monotoniczne. Zielone proste mają jedno przecięcie z wielokątem, niebieskie – dwa, czerwone – trzy i więcej.

Wielokąt monotoniczny – wielokąt, dla którego można wskazać prostą $L$ (tzw. kierunek monotoniczności), taką że każda prosta prostopadła do niej przecina wielokąt w najwyżej dwóch punktach (silna monotoniczność), można również rozszerzyć tę definicję na wielokąty posiadające krawędzie prostopadłe do $L$ (słaba monotoniczność).

Wielokąty wypukłe są monotoniczne w każdym kierunku, natomiast dla wielokąta monotonicznego możliwe jest znalezienie wszystkich jego kierunków monotoniczności w czasie liniowym ze względu na liczbę wierzchołków $(O(n)).$

Wielokąty tego typu mają duże znaczenie w geometrii obliczeniowej, ponieważ:

1. W czasie liniowym można dokonać ich triangulacji.
2. W czasie liniowym można znaleźć łańcuchy krawędzi górny i dolny ze względu na $L;$ następnie w czasie logarytmicznym $(O(\log n))$ stwierdzić, czy punkt należy do wielokąta.

Ponadto istnieje algorytm, który pozwala w czasie liniowym rozłożyć dowolny wielokąt na sumę wielokątów monotonicznych.

Zobacz też

• monotoniczność
• wielokąt gwiaździsty

Bibliografia

• Franco P. Preparata, Michael Ian Shamos: Geometria obliczeniowa. Wprowadzenie. Gliwice: Helion, 2003, s. 58. ISBN 83-7361-098-7.
• Mark de Berg: Geometria obliczeniowa. Algorytmy i zastosowania. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2007, s. 58–70. ISBN 978-83-204-3244-2.