Przejdź do zawartości

Twierdzenie Salmona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Salmona – twierdzenie planimetrii: Jeśli z punktu leżącego na okręgu poprowadzono trzy cięciwy i na każdej z nich jako na średnicy zbudowano okrąg, to okręgi te przecinają się parami w trzech punktach leżących na jednej prostej[1].

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Niech oznaczają odpowiednio: dany punkt i końce danych trzech cięciw. Oczywiście leżą one na okręgu, nazwijmy go Załóżmy, bez szkody dla ogólności, że leżą one na tym okręgu w tej właśnie kolejności.
Okręgi opisane na średnicach oznaczmy jako

Przecięcia par okręgów oznaczmy jako odpowiednio.
Dokonajmy inwersji w punkcie M i dowolnym promieniu. Niech odpowiednie obiekty po tym przekształceniu mają nazwy primowane.

Z własności inwersji wynika, że:

  • proste zawierające przejdą na proste
  • są prostymi prostopadłymi do, odpowiednio, w punktach
  • jest prostą zawierającą

Co więcej, punkty są współiniowe wtedy i tylko wtedy, gdy leżą na jednym okręgu.
Zauważmy teraz, że zatem leżą na jednym okręgu. Analogicznie oraz są współokręgowe.

Skoro trójki punktów i są współliniowe, możemy zapisać, że:

Zatem na czworokącie można opisać okrąg, skąd wynika, że punkty leżą na prostej, c.n.d.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. S. I. Zetel: Geometria trójkąta. PWSZ, 1964, s. 50.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • S.I. Zetel, Geometria trójkąta, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa 1964.