Twierdzenie Cevy

Przypadek 1.: trzy proste mają wspólny punkt O wewnątrz ABC

Przypadek 2.: trzy proste mają wspólny punkt O na zewnątrz ABC

Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.

Treść

Dany jest trójkąt $ABC$ oraz punkty $D\in BC,E\in CA,F\in AB.$ Jeżeli trzy proste $AD,BE$ i $CF$ przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe, to:

${\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1$

Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych $O$ może leżeć poza trójkątem.

Dowód

Przyjmijmy, że:

$x={\frac {|BD|}{|DC|}},\;y={\frac {|CE|}{|EA|}},\;z={\frac {|AF|}{|FB|}}$

Wtedy:

${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {P_{\Delta ADB}}{P_{\Delta ADC}}}$

oraz

${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {P_{\Delta ODB}}{P_{\Delta ODC}}}$

Z tego wynika, że

$x={\frac {P_{\Delta AOB}}{P_{\Delta AOC}}}$

Analogicznie:

$y={\frac {P_{\Delta COB}}{P_{\Delta AOB}}}$

$z={\frac {P_{\Delta AOC}}{P_{\Delta COB}}}$

Zatem:

$x\cdot y\cdot z={\frac {P_{\Delta AOB}}{P_{\Delta AOC}}}\cdot {\frac {P_{\Delta COB}}{P_{\Delta AOB}}}\cdot {\frac {P_{\Delta AOC}}{P_{\Delta COB}}}$

Po skróceniu otrzymujemy:

$x\cdot y\cdot z=1,$

ale

$x\cdot y\cdot z={\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}$

więc:

${\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1$

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy jest prawdziwe przy dodatkowym założeniu, że proste $AD,$ $BE$ i $CF$ nie są równoległe. Załóżmy, że punkty $D,$ $E$ i $F$ spełniają powyższe równanie. Na mocy dodatkowego założenia bez straty ogólności można założyć, że prosta $AD$ nie jest równoległa do prostej $BE.$ Niech $AD$ i $BE$ przecinają się w $O$ i niech $CO$ przecina $AB$ w $F'.$ Z udowodnionej przed chwilą implikacji,

${\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.$

Z porównania dwóch ostatnich równań jest

${\frac {AF'}{F'B}}={\frac {AF}{FB}}.$

Po dodaniu jedynki do obu stron i wykorzystaniu równości $AF' F'B=AF FB=AB,$ zachodzi

${\frac {AB}{F\ 'B}}={\frac {AB}{FB}}.$

A więc $F'B=FB,$ czyli $F$ i $F'$ pokrywają się (ponieważ na wspólnej półprostej $AB$ o początku w $B$). A więc $AD,$ $BE$ i $CF=CF'$ przecinają się w $O.$

Zastosowania

Twierdzenie Cevy i doń odwrotne mają wiele zastosowań w geometrii. Na przykład za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy można łatwo dowieść, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się wysokości, środkowe, dwusieczne (są to tzw. proste Cevy)

Twierdzenie Cevy dla czworościanu

Niech $A',B',C',D'$ oznaczają punkty czworościanu $ABCD$ leżące odpowiednio wewnątrz odcinków $AB,BC,CD,DA.$ Załóżmy, że płaszczyzny $ABC',BCD',CDA',DAB'$ przecinają się w jednym punkcie. Wówczas zachodzi równość:

${\frac {AA'}{A'B}}{\frac {BB'}{B'C}}{\frac {CC'}{C'D}}{\frac {DD'}{D'A}}=1$

Dowód polega na zauważeniu, że punkt przecięcia płaszczyzn leży zarówno na prostej $A'C',$ jak i $B'D',$ które są przecięciami dwóch z tych płaszczyzn. Stąd wynika, że $A'B'C'D'$ leżą na jednej płaszczyźnie, a z twierdzenia Menelaosa dla czworościanu – teza.

Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość

${\frac {AA'}{A'B}}{\frac {BB'}{B'C}}{\frac {CC'}{C'D}}{\frac {DD'}{D'A}}=1,$

to płaszczyzny $ABC',BCD',CDA',DAB'$ przecinają się w jednym punkcie, jest również prawdziwe.

Zobacz też

• twierdzenie Menelaosa
• wersja trygonometryczna twierdzenia Cevy
• twierdzenie van Aubela

Linki zewnętrzne

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Twierdzenie Cevy, „Delta”, luty 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19] .
• Ceva theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-30].