Twierdzenie Borsuka-Ulama

Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach – twierdzenie topologiczne, które w swojej popularnonaukowej wersji mówi, że na powierzchni kuli ziemskiej istnieje para punktów antypodycznych, w których temperatura i ciśnienie są takie same.

Według Matouška ogólne sformułowanie twierdzenia pojawia się po raz pierwszy w pracy Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana z 1930 roku. Samo twierdzenie nosi jednak nazwisko Karola Borsuka, który jako pierwszy podał jego dowód w pracy opublikowanej w Fundamenta Mathematicae z 1933 roku, gdzie przypisuje on autorstwo tezy Stanisławowi Ulamowi.

Twierdzenie

Niech $S^{n}$ oznacza $n$-wymiarową sferę (jednostkową) przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n 1}.$ Dla dowolnej funkcji ciągłej

$f\colon S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$

istnieje (co najmniej jeden) taki punkt $x\in S^{n},$ że

$f(x)=f(-x).$

Równoważne sformułowania

Istnieje kilka faktów topologicznych równoważnych twierdzeniu Borsuka-Ulama. Sformułowania te są pożyteczne przy dowodzeniu twierdzenia Borsuka-Ulama.

1) Twierdzenie Borsuka-Ulama w sformułowaniu danym powyżej. .

2) Jeśli ciągła funkcja $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ jest nieparzysta (czyli spełnia tożsamość $f(-x)=-f(x)$, to posiada punkt $x\in S^{n},$ dla którego $f(x)=0.$

3) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste przekształcenie $f:S^{n}\to S^{n-1}$(dla $n\geqslant 2$).

4) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste odwzorowanie $f:B^{n}\to S^{n-1}$, którego zbiorem wartości jest cała sfera .$S^{n-1}$.

Dowód

Przy użyciu kohomologii

Niech $f:S^{n}\to S^{n-1}$ będzie ciągłym i nieparzystym odwzorowaniem.

Przechodząc do topologii ilorazowej zadanej relacją: $x\simeq y\Leftrightarrow x=-y$ dzięki nieparzystości $f$ dostaniemy ciągłe odwzorowanie: $f':P^{n}(\mathbb {R} )\to P^{n-1}(\mathbb {R} ),$ gdzie $P^{n}(\mathbb {R} )$ oznacza n-wymiarową, rzeczywistą przestrzeń rzutową. Z twierdzenia Hurewicza indukuje to homomorfizm pierścieni kohomologii ze współczynnikami z ciała $\mathbb {F} _{2}{:}$

$\mathbb {F} _{2}[x]/(x^{n})=H^{*}(P^{n-1}(\mathbb {R} );\mathbb {F} _{2})\to H^{*}(P^{n}(\mathbb {R} );\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[y]/(y^{n 1}),$

który na $x$ przybiera wartość $y,$ ale: $x^{n}=0,$ a $y^{n}\neq 0.$ To daje sprzeczność.

Bibliografia

• JiříJ. Matoušek JiříJ., Using the Borsuk–Ulam theorem, Berlin: Springer Verlag, 2003, DOI: 10.1007/978-3-540-76649-0, ISBN 3-540-00362-2 .