Transformata Gelfanda

Transformata Gelfanda – dla danej przemiennej algebry Banacha $A$ przyporządkowanie

$a\mapsto {\hat {a}},\;\;\;a\in A$

dane wzorem

${\hat {a}}(\gamma )=\gamma (a),$

gdzie $\gamma$ jest elementem zbioru $\Phi _{A},$ tj. $\gamma$ należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry $A$ o wartościach w ciele liczb zespolonych. W zbiorze $\Phi _{A}$ wprowadza się najsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw. topologię Gelfanda; zbiór $\Phi _{A}$ z topologią Gelfanda nazywany jest przestrzenią Gelfanda algebry $A$). Przestrzeń Gelfanda jest zawsze lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, przy czym jest ona zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra $A$ ma jedynkę. Otoczenia bazowe danego punktu $\gamma _{0}$ z przestrzeni Gelfanda są postaci

$U_{F}=\{\gamma \in \Phi _{A}\colon |\gamma (a)-\gamma _{0}(a)|<1,\;a\in F\},$

gdzie $F$ jest skończonym podzbiorem $A.$ Zbiór

$A_{\Gamma }=\{a\in A\colon \,{\hat {a}}=0\}$

nazywany jest radykałem Gelfanda algebry $A.$ Radykał Gelfanda zawiera radykał Jacobsona algebry $A$ oraz dowolny jej komutator, tj. element postaci $ab-ba,$ gdzie $a$ i $b$ są elementami algebry $A.$

Transformata Gelfanda

${\hat {\,\cdot \,}}\colon A\to C(\Phi _{A})$

jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach w C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.

Bibliografia

• H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs. Brak numerów stron w książce
• Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 303–318.
• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009. Brak numerów stron w książce
• Гамелин Т.: Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.). Brak numerów stron w książce