Ten artykuł od 2009-05 wymaga zweryfikowania podanych informacji: dokończyć formatowanie i dopisać definicję intuicyjną.
Proces Lévy’ego – proces stochastyczny na przestrzeni probabilistycznej o wartościach w przestrzeni euklidesowej spełniający następujące warunki:
- -prawie wszędzie,
- ma przyrosty niezależne, tzn. dla każdego ciągu zmienne losowe są niezależne,
- ma przyrosty stacjonarne, tzn. rozkład jest taki sam, jak dla każdych
- proces jest ciągły według prawdopodobieństwa, tzn. dla każdego i dla każdego
Proces stochastyczny spełniający powyższe warunki posiada modyfikację będącą prawostronnie ciągłym z lewostronnymi granicami (z ang. RCLL, z fr. càdlàg) procesem Lévy’ego.
Najważniejszą cechą procesów Lévy’ego, sprawiającą, że są intensywnie badane, jest ich strukturalna stabilność. Cecha ta polega na tym, że suma dowolnej liczby procesów Lévy’ego jest także procesem Lévy’ego, co pozwala spojrzeć na procesy Lévy’ego jak na uogólnienie procesów Gaussa. Jednocześnie procesy Lévy’ego w ogólności nie mają skończonej wariancji, czyli możliwe są dowolnie duże skoki wartości przy procentowym udziale takich skoków znacznie większym niż dla procesów Gaussa, gdzie wariancja jest skończona.
Rozkład procesu Lévy’ego w momencie jest rozkładem nieskończenie podzielnym. Stąd istnieje eksponencjalne przedstawienie funkcji charakterystycznej procesu Lévy’ego w chwili – tzw. wzór Lévy’ego-Chinczyna:
gdzie:
przy czym
- jest miarą na spełniającą warunek
a jest macierzą dodatnio określoną. Funkcję nazywa się wykładnikiem charakterystycznym procesu Lévy’ego. Trójkę nazywa się trójką charakterystyczną procesu. Zgodnie ze wzorem Lévy’ego-Chinczyna trójka charakterystyczna jednoznacznie określa proces.
Jeśli to wykładnik charakterystyczny można zapisać w postaci
Proces Lévy’ego można przedstawić jako sumę
gdzie jest wielowymiarowym procesem Wienera z macierzą kowariancji jest to złożony proces Poissona o skokach większych niż 1, przy czym rozkład i intensywność skoków opisuje miara Proces to czysto skokowy martyngał.
Szczególnymi przypadkami procesu Lévy’ego są:
- przy czym
Miara prawdopodobieństwa w punkcie
Proces Poissona jest rosnącym skokowym procesem. Ze skokami zawsze wielkości 1.
- Proces gamma. Gęstości rozkładu gamma, z parametrami to:
Funkcja charakterystyczna jest postaci:
- funkcja charakterystyczna to:
- Proces Wienera. Jego funkcja charakterystyczna, przy to:
- miara zbioru borelowskiego to: