Operator Fredholma

Operator Fredholma – w analizie funkcjonalnej, ograniczony operator liniowy pomiędzy dwiema przestrzeniami Banacha, którego jądro i kojądro są skończenie wymiarowe. Nazwa pojęcia pochodzi od Erika Ivara Fredholma, który rozważał takie operatory w teorii równań całkowych.

Twierdzenie Atkinsona

Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami Banacha oraz niech $T\colon X\to Y$ będzie ograniczonym operatorem liniowym. Twierdzenie Atkinsona mówi, że $T$ jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki operator $S\colon Y\to X,$ że operatory

$I_{X}-ST,\quad I_{Y}-TS$

są zwarte.

Indeks Fredholma

Dla danego operatora Fredholma $T\colon X\to Y$ definiuje się jego indeks Fredholma $\operatorname {ind} T$ wzorem

$\operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {codim} T(X),$

czyli innymi słowy,

$\operatorname {ind} T=\dim \ker T-\dim \,\operatorname {coker} T,$

gdzie coker $T$ oznacza kojądro $T.$ Indeks Fredholma jest zatem liczbą całkowitą.

Własności

• Z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym wynika, że obraz operatora Fredholma jest domknięty.

• Rodzina $\Phi (X,Y)$ złożona ze wszystkich operatorów Fredholma z $X$ do $Y$ jest otwartym podzbiorem przestrzeni wszystkich operatorów z $X$ do $Y.$ Innymi słowy, dla każdego operatora Fredholma $T_{0}\colon X\to Y$ istnieje taka liczba $\varepsilon >0$ że dla każdy operator ograniczony $T\colon X\to Y$ o tej własności, że $||T-T_{0}||<\varepsilon$ jest również operatorem Fredholma, który ma ponadto ten sam indeks co $T_{0}$.

• Jeżeli $T\colon X\to Y$ i $U\colon Y\to Z$ są operatorami Fredholma, to złożenie $UT\colon X\to Z$ jest również operatorem Fredholma oraz

$\operatorname {ind} (UT)=\operatorname {ind} (U) \operatorname {ind} (T)$.

• Operator sprzężony do operatora Fredholma $T$ jest również operatorem Fredholma oraz $\operatorname {ind} (T^{*})=-\operatorname {ind} (T)$. Takie same relacje zachodzą dla operatorów sprzężonych do operatorów Fredholma działających między przestrzeniami Hilberta.

• Indeks Fredholma jest niezmienniczy ze względu na dodawanie operatorów zwartych, tzn. jeżeli $T\colon X\to Y$ jest operatorem Fredholma, a $K\colon X\to Y$ jest operatorem zwartym, to $T K$ jest również operatorem Fredholma oraz $\operatorname {ind} (T)=\operatorname {ind} (T K).$ Ogólniej, jeżeli $T\colon X\to Y$ jest operatorem Fredholma a $S\colon X\to Y$ jest operatorem ściśle singularnym, to $T S$ jest również operatorem Fredholma oraz $\operatorname {ind} (T)=\operatorname {ind} (T S)$.

Przykład

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną $(e_{n})$ indeksowaną liczbami naturalnymi z zerem. Niech $S\colon H\to H$ będzie operatorem przesunięcia w prawo, tj.

$S(e_{n})=e_{n 1}\quad (n\geqslant 0).$

Wówczas $S$ jest różnowartościowy, tj. wymiar jądra $S$ wynosi 0 ($S$ jest ponadto izometryczny) oraz jego kojądro ma kowymiar 1, a więc $S$ jest operatorem Fredholma o indeksie $\operatorname {ind} (S)=-1.$ Kolejne potęgi $S^{k},k\geqslant 0$ są operatorami Fredholma o indeksie $-k.$ Operatorem sprzężonym do $S$ jest operator przesunięcia w lewo:

$S^{*}(e_{0})=0,\ \ S^{*}(e_{n})=e_{n-1}\quad (n\geqslant 1).$

Operator $S^{*}$ jest więc operatorem Fredholma o indeksie 1.

Bibliografia

• Yuri A. Abramovich, Charalambos D. Aliprantis, An Invitation to Operator Theory, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2002.
• John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Wyd. Second Edition. New York: Springer-Verlag, 2010, seria: Graduate Texts in Mathematics 96. ISBN 1-4419-3092-2. Brak numerów stron w książce
• Joram Lindenstrauss, Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1977.