Moment zatrzymania

Przykład momentu zatrzymania: moment osiągnięcia bariery przez ruch Browna

Moment zatrzymania – specjalnego typu zmienna losowa, używana w teorii prawdopodobieństwa, a w szczególności przy badaniu procesów stochastycznych.

Reguła zatrzymania czy też momenty zatrzymania są analizowane i wykorzystywane zarówno w teorii prawdopodobieństwa, jak i statystyce, w szczególności przy próbkowaniu ciągów losowych czy w analizie sekwencyjnej. Często momenty zatrzymania są wykorzystywane w technikach dowodzenia twierdzeń metodą „temperowania czasu ciągłego” (szczegóły są w monografii Chunga (1982)).

Definicja

Moment zatrzymania dla ciągu zmiennych losowych $X_{1},X_{2},\dots$ to zmienna losowa $\tau$ o własności takiej, że dla każdego $t,$ to czy zdarzenie $\tau =t$ zrealizowało się, zależy wyłącznie od realizacji zmiennych losowych $X_{1},X_{2},\dots ,X_{t},$ a ponadto $Pr(\tau <\infty )=1,$ tj. $\tau$ jest prawie wszędzie skończona. Jeśli skończoność zmiennej losowej $\tau$ nie jest wymagana, to mówimy o markowskim momencie zatrzymania. Momenty zatrzymania pojawiają się w teorii decyzji, gdzie reguła zatrzymania jest strategią wskazującą moment zatrzymania obserwacji procesu na podstawie aktualnego i przeszłych stanów procesu w celu zrealizowania założonego celu.

Inna definicja, bardziej ogólna, wykorzystuje pojęcie filtracji. Niech $(I,\leqslant )$ będzie uporządkowanym zbiorem indeksów (często $I=[0,\infty )$ lub zwarty podzbiór tego przedziału). $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t}),\mathbb {P} )$ jest przestrzenią probabilistyczną z filtracją, to znaczy, jest to przestrzeń probabilistyczna ze zdefiniowaną wstępującą rodziną $\sigma$ -algebr zwaną filtracją. Wówczas zmienna losowa $\tau \colon \Omega \to I$ jest momentem Markowa, jeśli $\{\tau \leqslant t\}\in {\mathcal {F}}_{t}$ dla każdego $t\in I.$ Często, aby uniknąć nieporozumień, mówimy o takiej zmiennej losowej $\tau$ iż jest ${\mathcal {F}}_{t}$ -momentem markowskim. Jeśli dodatkowo moment Markowa $\tau$ jest skończony z prawdopodobieństwem $1,$ to nazywamy go momentem zatrzymania.

Inaczej mówiąc, aby $\tau$ był momentem markowskim powinno być możliwe stwierdzenie, czy $\{\tau \leqslant t\}$ zrealizowało się na podstawie ${\mathcal {F}}_{t}.$

Przykłady

W celu ilustracji podamy przykłady zmiennych losowych które są momentami zatrzymania i takich, które nie spełniają definicji. Rozważmy hazardzistę grającego w ruletkę z kapitałem początkowym 100 $:

Grając tylko jeden raz, realizujemy moment zatrzymania $\tau =1.$
Momentem zatrzymania jest strategia „graj co najwyżej 500 razy lub do wyczerpania pieniędzy”.
Strategia gracza „gram do podwojenia kapitału początkowego (i pożyczam jeśli trzeba)” nie jest momentem zatrzymania, jako że istnieje dodatnie prawdopodobieństwo tego, że nigdy nie zrealizujemy zamierzonego celu.
Strategia gracza „gram do podwojenia kapitału lub do chwili bankructwa” jest momentem zatrzymania ponieważ zatrzymujemy się z prawdopodobieństwem jeden w skończonym czasie.

Lokalizacja

Momenty zatrzymania są często wykorzystywane do uogólniania pewnych własności procesów stochastycznych na przypadek w którym żądana własność jest spełniona jedynie lokalnie. Niech $X$ będzie procesem a $\tau$ momentem zatrzymania. Wówczas oznaczenie $X^{\tau }$ wykorzystujemy do oznaczenia procesu $X$ zatrzymanego w chwili $\tau$

X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}.

Wówczas mówimy, że $X$ ma lokalnie własność $P$ jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania $\tau _{n},$ rosnących do nieskończoności i dla których procesy $1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}$ mają własność $P.$ Przykłady, dla procesów indeksowanych elementami zbioru $I=[0,\infty ),$ są następujące;

(Lokalny martyngał) Proces $X$ jest lokalnym martyngałem, jeśli ma własność càdlàg (trajektorie są prawostronnie ciągłe i posiadają lewostronna granicę) i istnieje rosnący do nieskończoności ciąg momentów zatrzymania $\tau _{n}$ taki, że $1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}$ jest martyngałem dla każdego $n.$
(Lokalna całkowalność) Nieujemny i rosnący proces $X$ jest lokalnie całkowalny, jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania $\tau _{n}$ rosnący do nieskończoności taki, że $\mathbb {E} (1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}})<\infty$ dla każdego $n.$

Typy momentów zatrzymania

Momenty zatrzymania o wartościach w $I=[0,\infty )$ dzielmy często na typy ze względu na to, czy jest możliwe przewidywanie ich realizacji.

Moment zatrzymania $\tau$ jest przewidywalny jeśli jest granicą rosnącego ciągu momentów zatrzymania $\tau _{n}$ o własności, iż $\tau _{n}<\tau ,$ gdy $\tau >0.$ O ciągu $\tau _{n}$ mówimy, że anonsuje $\tau ,$ a zatem przewidywalny moment zatrzymania jest w tym sensie prognozowalny. Przykładem przewidywalnego momentu zatrzymania jest moment pierwszego osiągnięcia dla procesu ciągłego i uzgodnionego. Jeśli $\tau$ jest pierwszą chwilą w której ciągły, rzeczywisty proces $X$ jest równy pewnej wartości $a,$ to ciągiem anonsującym jest $\tau _{n},$ gdzie $\tau _{n}$ jest pierwszą chwilą w której $X$ jest w odległości $1/n$ od $a.$

Osiągalny moment zatrzymania to taki, który może być „przykryty” przez przewidywalne momenty zatrzymania. To znaczy, że moment zatrzymania $\tau$ jest osiągalny, jeśli $P(\tau =\tau _{n}$ dla pewnego $n)=1,$ gdzie $\tau _{n}$ są momentami przewidywalnymi.

Moment zatrzymania $\tau$ jest całkowicie nieosiągalny jeśli nie może być nigdy „anonsowany” przez rosnący ciąg momentów zatrzymania. Równoważnie, $P(\tau =\sigma <\infty )=0$ dla każdego przewidywalnego momentu $\sigma .$ Przykładem całkowicie nieosiągalnych momentów zatrzymania są chwile skoków procesu Poissona.

Każdy moment markowski $\tau$ może być w jedyny sposób rozłożony na osiągalny i nieosiągalny moment markowski. To oznacza, że istnieją jedyne osiągalny moment markowski $\sigma$ oraz całkowicie nieosiągalny moment markowski $\upsilon$ takie, że:

\tau =\sigma ,\;{}

gdy

\sigma <\infty ,

\tau =\upsilon ,\;{}

gdy

\upsilon <\infty ,

\tau =\infty ,\;{}

gdy

\sigma =\upsilon =\infty .

Zobacz też

problem sekretarki

Literatura

Kai Lai Chung: Lectures from Markov processes to Brownian motion. New York: Springer-Verlag, 1982, seria: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. ISBN 0-387-90618-5.
Jakubowski, Jacek; Sztencel, R.: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2000. ISBN 83-904564-4-3.
Revuz, Daniel and Yor, Marc: Continuous martingales and Brownian motion. Wyd. Third edition. Berlin: Springer-Verlag, 1999, seria: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293. ISBN 3-540-64325-7.
Philip E. Protter: Stochastic integration and differential equations. Wyd. Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag, 2005, seria: Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21. ISBN 3-540-00313-4.

Literatura uzupełniająca

Thomas S.T.S. Ferguson Thomas S.T.S., Who solved the secretary problem?, „Stat. Sci.”, 4, 1989, s. 282–296, ISBN 3-540-74010-4, JSTOR: 2245639 .
Albert N. Shiryaev: Optimal Stopping Rules. Springer, 2007. ISBN 3-540-74010-4.