Przejdź do zawartości

Liczby wymierne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Definicja intuicyjna
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.
Standardowy symbol zbioru liczb wymiernych
Nieskończona macierz zawierająca wszystkie liczby wymierne pokazuje, że jest to zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Liczby wymierneliczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera[1]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem od niemieckiego słowa Quotient – iloraz lub stosunek[2]. Symbolicznie:

Liczby wymierne są przez to uogólnieniem liczb całkowitych umożliwiającym dzielenie przez dowolną liczbę różną od zera; na liczbach wymiernych można wykonywać wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne. Jest też kilka innych podstawowych własności tego zbioru:

Podstawowym uogólnieniem liczb wymiernych są liczby rzeczywiste, których ułamki dziesiętne mogą być jednocześnie nieskończone i nieokresowe[3]. Więcej informacji o liczbach wymiernych dostarcza matematyka wyższa:

Konstrukcja

[edytuj | edytuj kod]

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Niech w zbiorze par liczb całkowitych których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

wtedy i tylko wtedy, gdy

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka bądź jeśli to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą

Własności

[edytuj | edytuj kod]
Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych istnieje liczba wymierna
Dowód Gdyby były wymierne, to oczywiście spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród jest niewymierne.
  • Jeśli to można przyjąć
  • Jeśli to ponieważ jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać takie, że czyli
    Podobnie gdy wskazujemy i wówczas
  • Niech więc i niech np. jest niewymierne.
    Dla pewnego zachodzi stąd
    Z drugiej strony istnieje takie, że niech będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że Rzeczywiście, gdyby to byłoby Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc wbrew temu, że jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych o własności
    Ostatecznie łącznie z warunkiem daje
czyli
Jeśli jest niewymierne i wymierne, to wystarczy znaleźć takie, że i znaleźć jak poprzednio spełniające Wówczas i
  • Jeśli to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie spełniające i wówczas

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b c d e f Liczby wymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-11-23].
  2. Eric W. Weisstein, Rational Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-11-23].
  3. a b liczby niewymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-11-23].
  4. ułamek łańcuchowy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-11-23].
  5. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Rational number (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-11-22].

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]