Indeks punktu względem krzywej

Indeks punktu $a$ względem krzywej $C$ – liczba okrążeń punktu $z$ wokół punktu $a,$ gdy punkt $z$ obiega raz krzywą $C.$ Zwyczajowo każde okrążenie jest traktowane jako „dodatnie” bądź „ujemne” w zależności od tego, czy obieg odbywa się odpowiednio w kierunku przeciwnym lub zgodnym do ruchu wskazówek zegara.

Definicja

Obiekt poruszający się po krzywej okrąża osobę stojącą pośrodku dwukrotnie.

Funkcja $I(C,a)$ dla krzywej zamkniętej $C$ nie przechodzącej przez punkt $a,$ jest zdefiniowana jako

I(C,a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {dz}{z-a}}

nazywana jest indeksem punktu $a$ względem krzywej $C.$

Przykłady i własności

Funkcja indeksu przyjmuje tylko wartości całkowite; rośnie bądź maleje odpowiednio, gdy parametryzacja krzywej jest na danym przedziale zgodna i niezgodna z orientacją płaszczyzny zespolonej (mówi się wtedy o dodatniej i ujemnej orientacji krzywej).

Indeks punktu $0$ względem zorientowanego dodatnio okręgu $K$ o promieniu $r>0$ $(K:z=re^{it},0\leqslant t\leqslant 2k\pi$ dla $k\in \mathbb {Z} _{ })$ wynosi:

I(K,0)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{K}{\frac {dz}{z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2k\pi }{\frac {ire^{it}dt}{re^{it}}}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2k\pi }dt=k.

Zobacz też

wzór całkowy Cauchy’ego

Bibliografia

Franciszek Leja: Funkcje zespolone. PWN, 1967.