Przejdź do zawartości

Funkcja wykładnicza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wykres przykładowej funkcji wykładniczej gdzie w kartezjańskim układzie współrzędnych

Funkcja wykładnicza, funkcja eksponencjalna[1] – dwojako definiowany typ funkcji matematycznej:

  • w sensie szerokim jest to dowolna funkcja postaci gdzie [2]. Liczba – podstawa tej potęgi – jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej;
  • w sensie wąskim jest to funkcja opisana powyższy wzorem przy dodatkowym warunku – wyklucza się przypadek kiedy ten wzór daje funkcję stałą[3][4][5].

Dziedziną takich funkcji może być cała oś rzeczywista lub płaszczyzna zespolona W pierwszym wypadku:

Funkcjami wykładniczymi definiuje się inne, np. logarytmy, funkcje hiperboliczne i pośrednio polowe (area), a wzór Eulera opisuje związek funkcji wykładniczych z trygonometrycznymi[7]. Te wszystkie rodziny funkcji są zaliczane do elementarnych[8]. Z funkcji wykładniczych korzystają różne działy matematyki, nauk empirycznych i technicznych[9].

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Funkcja wykładnicza o podstawie jest (przy argumencie dążącym do ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.
dowód jest w artykule: logarytm naturalny.
W szczególności dla zachodzi:

Eksponens

[edytuj | edytuj kod]
Wykres funkcji zwanej eksponensem, w kartezjańskim układzie współrzędnych; liczba to podstawa logarytmu naturalnego.

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest ta o podstawie równej podstawie logarytmu naturalnego. Innym oznaczeniem takiej funkcji jest nazywane krótko eksponensem[10].

Cechą funkcji jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego

przy warunku początkowym

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy:

Dziedzina zespolona

[edytuj | edytuj kod]
Wykres na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

Jest to funkcja okresowa z okresem i można ją zapisać jako:

gdzie i to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

dla wszystkich i

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowania

[edytuj | edytuj kod]

Matematyka

[edytuj | edytuj kod]

Fizyka

[edytuj | edytuj kod]

Inne nauki

[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. funkcja eksponencjalna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30].
  2. a b Żakowski 1972 ↓, s. 80.
  3. a b c funkcja wykładnicza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30].
  4. a b c publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-04-11].
  5. Fichtenholz 1978 ↓, s. 87.
  6. krzywa wykładnicza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11].
  7. Eulera wzory, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11].
  8. funkcje elementarne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11].
  9. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Zastosowanie funkcji wykładniczej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-04-11].
  10. eksponens, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11].

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]
Polskojęzyczne
Anglojęzyczne