Elipsoida Johna

Elipsoida Johna lub Löwnera-Johna – pojęcie z zakresu geometrii wypukłej i teorii przestrzeni Banacha wprowadzone przez Fritza Johna w 1948 roku.

Definicja

Niech X będzie n-wymiarową przestrzenią unormowaną oraz niech B_X oznacza kulę jednostkową w przestrzeni X. Elipsoidą Johna przestrzeni X nazywa się kulę względem metryki zadanej przez pewien iloczyn skalarny w X (hiperkula) zawartą w B_X o największej n-wymiarowej objętości

Istnienie elipsoidy Johna wynika z twierdzenia Heinego-Borela. Jest ona ponadto wyznaczona jednoznacznie.

Lemat Dvoretzky’ego-Rogersa

Niech X będzie n-wymiarową przestrzenią unormowaną. Niech ρ_E oznacza normę euklidesową wprowadzoną przez elipsoidę Johna w X (tj. funkcjonał Minkowskiego elipsoidy Johna przestrzeni X). Istnieje wówczas taka baza ortonormalna (e_j)_{j ≤ n} w (X, ρ_E), że

$\|e_{j}\|_{X}\geqslant 2^{-{\frac {n}{n-j 1}}}\quad (j\leqslant n).$

W szczególności,

$\|e_{j}\|_{X}\geqslant {\frac {1}{4}}$

dla j ≤ n / 2 1.

Bibliografia

• F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.