Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Dopełnienie algebraiczne – dopełnienie algebraiczne elementu
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
danej macierzy kwadratowej
A
{\displaystyle A}
stopnia
n
{\displaystyle n}
jest to iloczyn
(
−
1
)
i
j
{\displaystyle (-1)^{i j}}
oraz minora
M
i
j
,
{\displaystyle M_{ij},}
czyli wyznacznika podmacierzy stopnia
n
−
1
{\displaystyle n-1}
powstałego z usunięcia
i
{\displaystyle i}
-tego wiersza oraz
j
{\displaystyle j}
-ej kolumny macierzy
A
.
{\displaystyle A.}
Dopełnienie algebraiczne elementu
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
macierzy
A
{\displaystyle A}
oznacza się często symbolem
A
i
j
{\displaystyle A_{ij}}
[1] , a macierz
[
A
11
A
12
⋯
A
1
n
A
21
A
22
⋯
A
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
A
n
1
A
n
2
⋯
A
n
n
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}},}
złożoną z dopełnień algebraicznych (oznaczaną
[
A
i
j
]
{\displaystyle [A_{ij}]}
), nazywa się macierzą dopełnień algebraicznych macierzy
A
.
{\displaystyle A.}
Dana jest macierz:
A
=
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
=
[
1
−
2
0
3
0
1
−
1
1
−
3
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-2&0\\3&0&1\\-1&1&-3\end{bmatrix}}}
Dopełnienia algebraiczne elementów
a
11
{\displaystyle a_{11}}
oraz
a
23
{\displaystyle a_{23}}
tej macierzy wynoszą, odpowiednio:
A
1
1
=
(
−
1
)
1
1
⋅
|
0
1
1
−
3
|
=
−
1
{\displaystyle A_{{\color {red}1}{\color {blue}1}}=(-1)^{{\color {red}1} {\color {blue}1}}\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&-3\end{vmatrix}}=-1}
A
2
3
=
(
−
1
)
2
3
⋅
|
1
−
2
−
1
1
|
=
1
{\displaystyle A_{{\color {OliveGreen}2}{\color {Brown}3}}=(-1)^{{\color {OliveGreen}2} {\color {Brown}3}}\cdot {\begin{vmatrix}1&-2\\-1&1\end{vmatrix}}=1}
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Cofactor , [w:] MathWorld , Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang. ) .
Niektóre typy macierzy Cechy niezależne od bazy
Cechy zależne od bazy
Operacje na macierzach jednoargumentowe
dwuargumentowe
Niezmienniki Inne pojęcia