Całka J

Całka J przedstawia sposób opisu pola naprężeń, a dokładniej – stanu energetycznego w strefie czoła pęknięcia. Teoretyczne podstawy zostały opracowane w 1967 przez Cherepanowa i w 1968 przez Jima Rice’a niezależnie. Udowodnili, że całka J jest niezależna od drogi całkowania.

Dwuwymiarowa całka J

Łuk otwarty dla którego oblicza się wartość całki J

Dwuwymiarowa całka J była początkowo określana jako

$J:=\int _{\Gamma }\left(W~dx_{2}-\mathbf {t} \cdot {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~ds\right),$

gdzie $W(x_{1},x_{2})$ jest oznacza gęstość energii odkształcenia, $x_{1},x_{2}$ oznaczają współrzędne układu, $\mathbf {t} =\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}$ oznacza wektor sił powierzchniowych na krzywej $\Gamma$ odpowiadającym jednostkowemu wektorowi $\mathbf {n}$ zewnętrznej normalnej do $\Gamma ,$ $\sigma$ oznacza tensor naprężeń Cauchy’ego, a $\mathbf {u}$ wektor przemieszczenia. Gęstość energii odkształcenia jest dany przez

$W=\int _{0}^{\epsilon }{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\epsilon }}~;~~{\boldsymbol {\epsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right].$

Dla materiału liniowo-sprężystego, gęstość energii odkształcenia w punkcie upraszcza się do:

$W={\frac {1}{2}}\sigma _{ij}\epsilon _{ij}.$

Kontur zamknięty, na którym wartość całki J się zeruje

Całka J wokół czoła pęknięcia jest często wyrażana w bardziej ogólnej formie (w konwencji Einsteina) jako

$J_{i}:=\lim _{\epsilon \to 0}\oint _{\Gamma _{\epsilon }}\left(Wn_{i}-n_{j}\sigma _{jk}~{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)d\Gamma$

gdzie $J_{i}$ oznacza składową całki J dla otwartej szczeliny w kierunku $x_{i}$ a $\epsilon$ jest małym obszarem wokół czoła szczeliny.

Używając twierdzenia Greena, można pokazać, że całka przyjmuje wartość 0.

Zobacz też

• mechanika pękania