Twierdzenie Gelfonda-Schneidera

Twierdzenie Gelfonda-Schneidera – twierdzenie teorii liczb, które pozwala stwierdzić, że liczby pewnej postaci (opisanej w twierdzeniu) są liczbami przestępnymi. Udowodnione po raz pierwszy w roku 1934 przez Aleksandra Gelfonda i niezależnie w roku 1935 przez Theodora Schneidera. Jest częściowym rozwiązaniem 7 problemu Hilberta. Uogólnieniem tego twierdzenia na skończone iloczyny potęg jest twierdzenie Bakera, za które autor otrzymał medal Fieldsa w 1970 r.

Twierdzenie

Jeżeli $\alpha \ (\alpha \neq 0,\ \alpha \neq 1)$ i $\beta$ są liczbami algebraicznymi, $\beta$ nie jest liczbą wymierną, to każda wartość $\alpha ^{\beta }$ jest liczbą przestępną.

Uwagi

• $\alpha$ i $\beta$ nie muszą być liczbami rzeczywistymi – w ogólności mogą być liczbami zespolonymi.
• W ogólności $\alpha ^{\beta }=\exp\{\beta \log \alpha \},$ gdzie „log” oznacza logarytm zespolony, może przyjmować kilka wartości. To właśnie oznacza zwrot „każda wartość”.
• Równoważnie można sformułować twierdzenie Gelfonda w sposób następujący:

jeżeli $\alpha ,\ (\alpha \neq 0,\ \alpha \neq 1)$ oraz $\gamma$ są różnymi od zera liczbami algebraicznymi, to $(\log \gamma )/(\log \alpha )$ jest albo liczbą wymierną, albo przestępną.

• Pominięcie wymogu, by $\beta$ było liczbą algebraiczną sprawia, że twierdzenie przestaje być prawdziwe: jeśli np. $\alpha =3$ i $\beta =\log 2/\log 3$ (jest to liczba przestępna), to $\alpha ^{\beta }=2$ jest liczbą algebraiczną. Pełny opis wartości tych $\alpha$ i $\beta ,$ dla których $\alpha ^{\beta }$ jest liczbą przestępną nie jest znany.

Zastosowania

Bezpośrednio z twierdzenia Gelfonda wynika, że następujące liczby są przestępne:

• Stała Gelfonda-Schneidera: $2^{\sqrt {2}}$ oraz liczba ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.$
• Stała Gelfonda: $e^{\pi }=\exp\{-i\,\log(-1)\}$ jest jedną z wartości $(-1)^{-i}.$

Zobacz też

• dowód niekonstruktywny
• twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa
• hipoteza Schanuela – twierdzenia Gelfonda i twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa są wnioskami z tej hipotezy