Przykłady grup

Jest to spis przykładowych grup w sensie matematycznym, pochodzących z różnych działów matematyki, zarówno elementarnej, jak i wyższej. Przykładów grup dostarczają między innymi teoria mnogości, arytmetyka, algebra i geometria – grupy są tworzone między innymi przez zbiory, liczby, funkcje, macierze i wektory. Poniższa lista ma kilkadziesiąt punktów, przy czym niektóre z nich opisują nieskończone zbiory grup.

Grupy z dodawaniem

Oś liczbowa – interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych

Wektory na płaszczyźnie mogą być dodawane i odejmowane, a przez własności tych działań tworzą grupę addytywną

W tych grupach działaniem jest dodawanie. Takie grupy bywają zaliczane do addytywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

Dodawanie liczb

• Liczby całkowite $\mathbb {Z} ;$
  • liczby parzyste lub dowolny zbiór wielokrotności ustalonej liczby całkowitej $n\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ;$
  • w szczególności zero z dodawaniem to przykład grupy trywialnej;
• liczby wymierne $\mathbb {Q} ;$
• liczby rzeczywiste $\mathbb {R} ;$
  • liczby rzeczywiste postaci $a b{\sqrt {2}}$, gdzie liczby $a,b$ są wymierne: $a,b\in \mathbb {Q} ;$
• liczby zespolone $\mathbb {C} ;$
• liczby całkowite modulo dowolna liczba całkowita dodatnia $\mathbb {Z} _{n},n\in \mathbb {Z} _{ };$
• liczby rzeczywiste modulo 1 $(\mathbb {R} /(1))$ – przedział $[0;1)$ z działaniem:

$a\oplus b={\begin{cases}a b&{\text{dla }}a b<1\\a b-1&{\text{dla }}a b\geqslant 1;\end{cases}}$

• analogiczny zbiór liczb rzeczywistych modulo dowolna liczba rzeczywista dodatnia: $\mathbb {R} /(d),d\in \mathbb {R} _{ };$
  • analogiczny zbiór liczb wymiernych modulo dowolna liczba wymierna dodatnia: $\mathbb {Q} /(d),d\in \mathbb {Q} _{ }.$

Dodawanie innych obiektów

• Potęgi kartezjańskie powyższych zbiorów – zbiory krotek złożonych z ich elementów, np. $\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times ...\times \mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ^{n},\ \mathbb {R} ^{n},\ \mathbb {C} ^{n}$ itd., z dodawaniem odpowiednich elementów:

$(a_{i})_{i=1}^{n} (b_{i})_{i=1}^{n}=(a_{i} b_{i})_{i=1}^{n}.$

Niektóre z nich są nazywane przestrzeniami współrzędnych, a $\mathbb {R} ^{n}$ – przestrzeniami kartezjańskimi;

• wektory na prostej, płaszczyźnie lub w dowolnej innej przestrzeni euklidesowej;
• zbiory wielomianów o współczynnikach z powyższych grup: $\mathbb {Z} [X],\ \mathbb {Q} [X],\ \mathbb {R} [X],\ \mathbb {C} [X]$ itp.

Grupy z mnożeniem liczb

Okrąg jednostkowy na diagramie Arganda – płaszczyźnie zespolonej z kartezjańskim układem współrzędnych

W poniższych grupach działaniem jest mnożenie liczb:

• niezerowe liczby wymierne $\mathbb {Q} _{\neq 0};$
  • jedynka i minus jedynka $\{1,-1\};$
  • dodatnie liczby wymierne $\mathbb {Q} _{ };$
  • jedynka z mnożeniem to inny przykład grupy trywialnej;
• niezerowe liczby rzeczywiste $\mathbb {R} _{\neq 0};$
  • dodatnie liczby rzeczywiste $\mathbb {R} _{ };$
  • liczby rzeczywiste postaci $a b{\sqrt {2}}$, gdzie liczby $a,b$ są wymierne i nie są jednocześnie zerowe: $a,b\in \mathbb {Q} ,(a,b)\neq (0,0)$;
• niezerowe liczby zespolone $\mathbb {C} _{\neq 0};$
  • liczby zespolone o module jednostkowym – grupa okręgu $\mathbb {C} _{1};$
  • pierwiastki algebraiczne ustalonego stopnia z jedynki: $\mathbb {E} _{n}=\{z\in \mathbb {C} :z^{n}=1\}.$

Takie grupy bywają zaliczane do multiplikatywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

Grupy przekształceń

Wykres przykładowej funkcji liniowej w kartezjańskim układzie współrzędnych

W ich przypadku działaniem jest złożenie funkcji. Elementy rozważanych grup to bijekcje i jednocześnie funkcje, dla których przeciwdziedzina pokrywa się dziedziną – działania jednoargumentowe: $f:X\to X.$

Funkcje rzeczywiste

• Rzeczywiste funkcje 1. stopnia:

$f(x)=ax b,\ a\in \mathbb {R} _{\neq 0},b\in \mathbb {R} ;$

• uogólnienie powyższych – rzeczywiste homografie:

$f(x)={\frac {ax b}{cx d}},\ a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\$$ad-bc\neq 0;$

• cztery przykłady takich homografii, konkretniej proporcjonalności – dwóch prostych i dwóch odwrotnych:

$id(x)=x,\ f(x)=-x,\ g(x)={\frac {1}{x}},$

$h(x)=f\circ g(x)=g\circ f(x)=-{\frac {1}{x}};$

Tablica Cayleya tej grupy:

$\circ$	$id$	$f$	$g$	$h$
$id$	$id$	$f$	$g$	$h$
$f$	$f$	$id$	$h$	$g$
$g$	$g$	$h$	$id$	$f$
$h$	$h$	$g$	$f$	$id$

• sześć przykładów rzeczywistych homografii:

$id(x)=x,\ f(x)=1-x,\ g(x)={\frac {1}{x}},$

$k(x)=f\circ g(x)=1-{\frac {1}{x}}={\frac {x-1}{x}};$

$l(x)=g\circ f(x)={\frac {1}{1-x}};$

$m(x)=g\circ k(x)={\frac {x}{x-1}};$

• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których $f(1)=1$, czyli jedynka jest punktem stałym; por. stabilizator;
• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których $f(\mathbb {Q} )=\mathbb {Q}$ – obrazem zbioru liczb wymiernych jest on sam; por. zbiór niezmienniczy;
• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są rosnące;
• bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są ściśle monotoniczne.

Inne funkcje

Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii i zachowuje ustawienie przy trzech obrotach wokół środka – o 120°, 240° i 360°. Dlatego mówi się, że jego grupa diedralna ma 6 elementów. Jest ona izomorficzna z trzecią grupą permutacji: $D_{3}\cong S_{3}.$

• Grupy bijekcji – zbiór wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru w siebie, czasem też nazywany grupą symetryczną $S_{X},$ gdzie $X$ to dowolny zbiór;
  • grupy permutacji – bijekcji zbioru skończonego w siebie $S_{n},n\in \mathbb {N} ;$
  • grupy alternujące – permutacji parzystych ustalonego zbioru $A_{n},n\in \mathbb {N} ;$
  • funkcja tożsamościowa na dowolnym zbiorze $id(x)=x$ to inny przykład grupy trywialnej;
• grupa izometrii płaszczyzny euklidesowej: $I(E^{2});$
  • grupy diedralne – wszystkich izometrii własnych wielokąta foremnego: $D_{n},n\in \mathbb {N} _{\geq 3};$
• pełne grupy liniowe – grupy wszystkich izomorfizmów liniowych ustalonej przestrzeni liniowej: ${\text{GL}}(n,K),$ gdzie $n\in \mathbb {N} ,$ a $K$ to dowolne ciało. Inne znaczenie terminu pełna grupa liniowa, związane z macierzami kwadratowymi, podano niżej.

Grupy z mnożeniem macierzy

Macierze kwadratowe:

• odwracalne (nieosobliwe) elementów ustalonego ciała i ustalonego wymiaru – taka grupa to jedno ze znaczeń terminu pełna grupa liniowa: ${\text{GL}}(n,K).$ Inne znaczenie tej nazwy podano wyżej;
• postaci: ${\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {R} ;$
• postaci: ${\begin{bmatrix}(-1)^{a}&a\\0&(-1)^{a}\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {Z} ;$
• postaci: ${\begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {C} .$

Inne grupy

Diagram Venna dla $A\Delta B$ – różnica symetryczna zbiorów jest oznaczona fioletowo

Grupy są też tworzone przez działania dwuargumentowe inne niż dodawanie, mnożenie liczb, złożenie funkcji czy mnożenie macierzy.

Grupy liczb

• Liczby całkowite $\mathbb {Z}$ z działaniem: $a\oplus b=(-1)^{a}a (-1)^{b}b;$
• liczby wymierne bez jedynki $\mathbb {Q} _{\neq 1}$ z działaniem: $a*b=a b-ab;$
• przedział otwarty $(1; \infty )$ z działaniem: $a*b=ab-a-b 2.$

Grupy innych obiektów

• Podzbiory ustalonego zbioru – czyli zbiór potęgowy – z działaniem różnicy symetrycznej: $({\mathcal {P}}(X),\Delta ),$ gdzie:
  • $X$ to dowolny zbiór;
  • ${\mathcal {P}}(X)$ – jego zbiór potęgowy;
  • $\Delta$ to różnica symetryczna: $A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$
• Jeśli $(G,*)$ jest dowolną grupą, a $X$ – dowolnym zbiorem, to grupą jest też zbiór wszystkich funkcji na tym zbiorze i o wartościach w tej grupie, z odpowiednim działaniem na tych funkcjach:

$G^{X}:=\{f:X\to G\},$

$(f*g)(x):=f(x)*g(x);$

• Jeśli jednocześnie:
  • $(G_{1},*)$ jest dowolną grupą;
  • $f:G_{1}\to G_{2}$ jest dowolną bijekcją na zbiorze $G_{1};$
  • działanie dwuargumentowe $\odot :G_{2}^{2}\to G_{2}$ jest zdefiniowane wzorem

$a\odot b:=f(f^{-1}(a)*f^{-1}(b)),$

to $(G_{2},\odot )$ jest grupą.

Zobacz też

• Grupa czwórkowa Kleina
• Grupa modularna
• Grupa obrotów
  • Grupa SO(2)
• Symetria unitarna
  • Specjalna grupa unitarna
  • Grupa SU(2)
• Grupa kwaternionów
• Grupa Galileusza
• Grupa Poincarégo
  • Grupa Lorentza
• Grupa Heisenberga
• Grupa Mathieu
• Grupa monstrum
• Grupa Prüfera

Bibliografia

• Maciej Bryński, Jerzy Jurkiewicz: Zbiór zadań z algebry. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985. ISBN 83-01-06575-3.
• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
• Marek Ptak, Karol Gryszka, Beata Hejmej: Algebra liniowa. Notatki do wykładu. Kraków: Wydawnictwo Szkolne Omega, 2019. ISBN 978-83-7267-734-1.
• Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.