Przestrzenie T5 i T6

Przestrzeń $T_{5}$ i przestrzeń $T_{6}$ – terminy w topologii odnoszące się do jednych z najsilniejszych aksjomatów oddzielania.

Definicje

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią dziedzicznie normalną (albo całkowicie normalną albo $T_{5}$) wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią T₄ w której każda podprzestrzeń jest normalna.

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią doskonale normalną (albo $T_{6}$) wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią T₄ w której każdy domknięty podzbiór jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Nazewnictwo

Tak jak w przypadku przestrzeni regularnych, Tichonowa czy też normalnych, istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń dziedzicznie/całkowicie normalna i przestrzeń $T_{5}$ oraz przestrzeń doskonale normalna i przestrzeń $T_{6}$. Źródłem różnic jest zakładanie (bądź nie) aksjomatu T₁. W tym artykule obowiązuje terminologia ustalona w monografii Engelkinga – zakładamy, że rozważane przestrzenie są przestrzeniami $T_{4}.$

Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w przez autorów.

Przykłady

• Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami doskonale normalnymi: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda regularna przestrzeń topologiczna $X$ która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią doskonale normalną.
• Istnieją przestrzenie całkowicie normalne które nie są doskonale normalne. Rozważmy na przykład zbiór $\mathbb {R}$ wszystkich liczb rzeczywistych z topologią $\tau$ zawierającą wszystkie zbiory $U\subseteq \mathbb {R}$ takie że $\mathbb {R} \setminus U$ jest skończone lub $0\notin U$ lub $U=\varnothing .$ Wtedy $(\mathbb {R} ,\tau )$ jest przestrzenią $T_{5},$ ale nie $T_{6}.$
• Istnieją przestrzenie T6, które nie są metryzowalne. Na przykład topologia na $\omega _{1}$ wprowadzona przez bazę $\{\{0\}\cup \{(\alpha ,\beta ]\colon \,\alpha <\beta <\omega _{1}\}\}$ nie jest metryzowalna ani nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności.
• Pod założeniem ZFC „istnieje zbiór Łuzina na prostej” można podać przykład doskonale normalnej, dziedzicznie ośrodkowej rozmaitości, która nie jest metryzowalna. Konstrukcja tego typu przestrzeni wymaga założenia aksjomatów spoza ZFC.

Własności

• Każda przestrzeń doskonale normalna jest całkowicie normalna.
• Obraz przestrzeni doskonale normalnej przez (ciągłe) odwzorowanie domknięte jest przestrzenią doskonale normalną.
• Podprzestrzeń przestrzeni doskonale normalnej jest doskonale normalna i tak samo dla przestrzeni dziedzicznie normalnych (czyli własności być przestrzenią doskonale normalną i być przestrzenią dziedzicznie normalną są własnościami dziedzicznymi).
• Następujące Twierdzenie Wedenisowa jest często podawane jako uzasadnienie że własność $T_{6}$ jest własnością oddzielania:

Przestrzeń T₁ $X$ jest doskonale normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów $A,B\subseteq X$ istnieje funkcja ciągła $f\colon X\to [0,1]$ taka, że $f^{-1}[\{0\}]=A$ i $f^{-1}[\{1\}]=B.$

• Następujące twierdzenie jest często podawane jako uzasadnienie, że własność $T_{5}$ jest własnością oddzielania:

Przestrzeń T₁ $X$ jest dziedzicznie normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów $A,B\subseteq X$ takich że $A\cap \operatorname {cl} (B)=\varnothing =\operatorname {cl} (A)\cap B$ istnieją zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie że $A\subseteq U,$ $B\subseteq V$ i $U\cap V=\varnothing .$

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń normalna $(T_{4})$