Przestrzeń L_p

Przestrzenie $\ell _{p},$ $L_{p},$ $L_{p}(\mu )$ – dla ustalonej liczby dodatniej $p$ – klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg $p$ -tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w $p$ -tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku $p\geqslant 1$ w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie $\ell _{2}$ oraz $L_{2}$ są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. Przestrzenie $\ell _{p}$ są szczególnymi przypadkami przestrzeni $L_{p}(\mu ).$

Przestrzenie $L_{p}$ znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.

Skończenie wymiarowe przestrzenie ℓ_pⁿ

Sfera jednostkowa w przestrzeni

\ell _{3/2}^{2}

W przestrzeni $K^{n},$ gdzie $K$ jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego $p>0$ rozważać funkcję

\|{\cdot }\|_{p}\colon K^{n}\to [0,\infty )

daną wzorem

\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p} |x_{2}|^{p} \ldots  |x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},\;\;x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).

Dla $1\leqslant p<\infty$ funkcja ta jest normą wraz z którą $K^{n}$ jest $n$ -wymiarową przestrzenią Banacha, oznaczaną symbolem $\ell _{p}^{n}.$ W przypadku $p=2$ norma przestrzeni $\ell _{2}^{n}$ jest normą euklidesową.

Przestrzenie ℓ_p

Osobny artykuł: Przestrzeń l1.

Ciągi liczbowe (o wyrazach z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:

dodawanie:

(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots ) (y_{1},y_{2},\dots ,y_{n},\dots )=(x_{1} y_{1},x_{2} y_{2},\dots ,x_{n} y_{n},\dots ),

mnożenie przez skalar:

\lambda (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots )=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n},\dots ),

gdzie $\lambda$ jest skalarem.

Zbiór wszystkich ciągów liczbowych $V$ z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego $0<p<\infty$ zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych $x=(x_{n})$ dla których

\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty

tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni $V.$

Dopuszczając $p=\infty ,$ definiuje się

\|x\|_{\infty }=\sup\{|x_{n}|:n\in \mathbb {N} \}.

Przestrzenie $\ell _{p}$ to podprzestrzenie liniowe $V$ dla których

\ell _{p}=\{x\in V:\|x\|_{p}<\infty \}.

Powyższy wzór określa normę w $\ell _{p}$ dla $p\in [1,\infty ].$ Warunek trójkąta dla normy $\|{\cdot }\|_{p}$ w przypadku $p<\infty$ wynika z nierówności Minkowskiego:

\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}|a_{n}| |b_{n}|{\big ]}^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\leqslant \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}} \left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}},

gdzie $(a_{n}),\ (b_{n})$ są elementami $\ell _{p}.$

Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera:

\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}b_{n}|\leqslant \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{q}\right)^{\tfrac {1}{q}},

gdzie $(a_{n})\in \ell _{p},$ $(b_{n})\in \ell _{q},$ $1/p 1/q=1;$ umownie $1/\infty =0.$

Norma w przestrzeniach $\ell _{p}$ jest zupełna, a więc przestrzenie $\ell _{p}$ są przestrzeniami Banacha.

Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni $\ell _{p},\ p\in [1,\infty ),$ gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni $\ell _{\infty }.$ Ciąg o wyrazie ogólnym $1/n$ nie należy do przestrzeni $\ell _{1},$ jednak dla każdego $p>1$ należy on do przestrzeni $\ell _{p}.$

Własności

Przestrzenie $\ell _{1}$ i $\ell _{\infty }$ nie są refleksywne, natomiast w przypadku $1<p<\infty$ przestrzenie $\ell _{p}$ są. Dla $p\in [1,\infty )$ przestrzeń sprzężona do $\ell _{p}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią $\ell _{q}$ gdzie $1/p 1/q=1$ (konwencja: $1/\infty =0$ ). Dualność ta wyznaczona jest przez związek

\langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n},\;\;x=(x_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{p},\;\;y=(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{q}.

Przestrzeń $\ell _{\infty }$ jest nieośrodkowa, podczas gdy dla $p\in [1,\infty )$ przestrzenie $\ell _{p}$ są ośrodkowe.
Przestrzenie $\ell _{p}$ są jednostajnie wypukłe dla $1<p<\infty .$
Przestrzeń $\ell _{p}$ jest (izomorficzna z) przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy $p=2.$

Przestrzenie L_p(μ)

Niech $p>0$ będzie liczbą rzeczywistą oraz niech $(\Omega ,F,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną. Niech $L(\mu )$ będzie zbiorem klas abstrakcji relacji równoważności w rodzinie wszystkich funkcji mierzalnych na $\Omega$ względem relacji równoważności danej warunkiem $f\sim g$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $\{x\in \Omega :f(x)\neq g(x)\}$ jest $\mu$ -miary zero. Zbiór

L_{p}(\mu )={\Bigg \{}f\in L(\mu ):\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x)<\infty {\Bigg \}}

ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej.

Przestrzenie L_p dla p ⩾ 1

Niech $p\in [1,\infty ).$ Z nierówności Minkowskiego wynika, że wzór

\|f\|_{L_{p}(\mu )}={\Bigg (}\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x){\Bigg )}^{\tfrac {1}{p}}

definiuje normę przestrzeni $L_{p}(\mu ).$ Norma ta jest zupełna, a więc $L_{p}(\mu )$ jest przestrzenią Banacha. Gdy $\Omega$ jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, symbolem $L_{p}(\Omega )$ oznacza się przestrzeń $L_{p}(\mu ),$ gdzie $\mu$ jest miarą Lebesgue’a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzbiorów zbioru $\Omega .$

Gdy miara $\mu$ jest skończona, to zachodzą inkluzje $L_{p}(\mu )\subseteq L_{q}(\mu )$ o ile tylko $p\geqslant q$ (włączając przypadek $p=\infty ,$ zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy $\mu$ jest nieskończona, tj. $\mu (\Omega )=\infty$ powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład dla ustalonego $p\geqslant 1$ funkcja

f(x)={\frac {1}{x^{\frac {1}{p}}(\ln ^{2}x 1)}}\;\;(x>0)

należy do $L_{p}(0,\infty ),$ ale nie należy do $L_{r}(0,\infty ),$ gdy $r\neq p.$

Przestrzeń L_∞

Symbolem $L_{\infty }(\mu )$ oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że

{\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|:=\inf\{\sup\{|f(x)|:x\in \Omega \setminus A\}:A\in {\mathcal {A}},\mu (A)=0\}<\infty ,

z normą

\|f\|={\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|.

Przestrzenie L_p dla 0 < p < 1

W przypadku $0<p<1$ nadal można mówić o przestrzeniach $L_{p},$ nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe).

Dla liczb nieujemnych $a,b$ oraz liczby $0<p<1$ znana jest następująca nierówność:

(a b)^{p}\leqslant a^{p} b^{p},

z której wynika, że

\Delta _{p}(f g)\leqslant \Delta _{p}(f) \Delta _{p}(g),

przy czym $\Delta _{p}(f)=\int |f(x)|^{p}\mu ({\mbox{d}}x).$ Na mocy powyższego, wzór

d(f,g)=\Delta _{p}(f-g)

określa metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni $L_{p}(\mu ).$ Metryka ta jest zupełna. W szczególności, $L_{p}(\mu )$ ma strukturę zupełnej liniowo-metrycznej, której bazę otoczeń zera tworzy rodzina kul

B_{r}=\{f\in L_{p}(\mu ):\Delta _{p}(f)<r\}\;(r>0).

Brak lokalnej wypukłości

Dla każdej liczby $r>0$ zachodzi związek

B_{1}=r^{-{\frac {1}{p}}}B_{r},

więc kula $B_{1}$ jest ograniczona, tj. przestrzeń $L_{p}(\mu )$ jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń $L_{p}(\mu ).$ Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech $Y$ będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech ${\mathcal {B}}$ będzie jej bazą otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli $T\colon L_{p}(\mu )\to Y$ jest operatorem liniowym i ciągłym oraz $W$ jest elementem bazy ${\mathcal {B}},$ to $T^{-1}(W)$ jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem $L_{p}(\mu ),$ tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji $T(L_{p}(\mu ))$ zawiera się w każdym elemencie bazy ${\mathcal {B}},$ tj. $T$ jest operatorem zerowym.

Nierówności Höldera i Minkowskiego

Dla przestrzeni $L_{p}(\mu )(0<p<1)$ istnieją odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego.

Nierówność Höldera: Niech $0<p<1$ oraz niech $p'=p/(p-1).$ Wówczas dla $f\in L_{p}(\mu ),$ $g\in L_{p'}(\mu )$ spełniających warunek $0<\Delta _{p'}(g)<\infty$ zachodzi oszacowanie