Pierwiastek kwadratowy z 2

Pierwiastek kwadratowy z liczby 2 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 2) – dodatnia liczba rzeczywista, której kwadrat jest równy liczbie 2. Jest to więc przykład liczby algebraicznej stopnia 2. Geometrycznie pierwiastek kwadratowy z 2 jest długością przekątnej kwadratu o boku długości 1, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa (patrz rysunek obok).

Prawdopodobnie jest to pierwsza znana liczba niewymierna (patrz dowody niewymierności); jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 65 miejsca po przecinku^[1] wynosi

1,414213 562373 095048 801688 724209 698078 569671 875376 948073 176679 737990…

Dobrym przybliżeniem pierwiastka kwadratowego z 2 jest liczba wymierna ${\tfrac {99}{70}};$ choć mianownik tego ułamka ma wartość zaledwie 70, to błąd wartości faktycznej jest mniejszy niż 1/10 000.

Historia

Zobacz też: liczby niewymierne.

Gliniana tabliczka babilońska YBC 7289 z adnotacjami.

Gliniana tabliczka babilońska YBC 7289 (ok. 1800–1600 p.n.e.) podaje przybliżenie ${\sqrt {2}}$ na czterech cyfrach sześćdziesiątkowych, co odpowiada dokładności około sześciu cyfr dziesiętnych^[2]:

1 {\frac {24}{60}} {\frac {51}{60^{2}}} {\frac {10}{60^{3}}}=1{,}41421{\overline {296}}.

Inne wczesne przybliżenie tej wartości pochodzi ze staroindyjskich tekstów matematycznych, Sulba Sutras (ok. 800–200 p.n.e.) podaje: „Zwiększ długość [boku] o jego trzecią część i ćwierć trzeciej bez trzydziestej czwartej tej ćwierci”^[3], co daje

1 {\frac {1}{3}} {\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1{,}414215686.

To staroindyjskie przybliżenie jest siódmym w kolejności zwiększania dokładności przybliżeń opartych na ciągu liczb Pella, które mogą być wyznaczone w rozwinięciu ułamka łańcuchowego z ${\sqrt {2}}.$

Pitagorejczycy odkryli, że przekątna kwadratu jest niewspółmierna z jego bokiem, co dziś można by zawrzeć w stwierdzeniu, iż pierwiastek kwadratowy z 2 jest liczbą niewymierną (patrz Geometryczny dowód niewymierności). Niewiele wiadomo o czasie i okolicznościach tego odkrycia, ale często wspomniane jest imię Hippazosa z Metapontu. Obecnie uważa się, że starożytni Grecy traktowali odkrycie niewymierności pierwiastka kwadratowego z 2 jako „tajemnicę służbową”, a według legendy Hippazos miał zostać zamordowany za jej ujawnienie^[4]^[5]^[6].

Niewymierność

Zobacz też: liczby niewymierne.

Liczba ${\sqrt {2}}$ jest niewymierna, tzn. nie da się jej przedstawić w postaci ułamka zwykłego postaci ${\tfrac {m}{n}},$ gdzie $m,\ n$ są liczbami całkowitymi (ponieważ ${\sqrt {2}}>0,$ to można ograniczyć się do dodatnich, tzn. naturalnych $m,\ n$ ). Oba przedstawione dowody są rozumowaniami nie wprost.

Dowód geometryczny

Ilustracja do geometrycznego dowodu niewymierności pierwiastka z 2.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że stosunek długości $m$ przeciwprostokątnej $AC$ do długości $n$ dowolnej przyprostokątnej ( $AB$ lub $BC$ ) w równoramiennym trójkącie prostokątnym $ABC$ wynosi ${\sqrt {2}}.$ Niech będzie on wielkością wymierną, tzn. istnieją dwie całkowite i dodatnie liczby $m,\ n,$ dla których ${\sqrt {2}}={\tfrac {m}{n}},$ przy czym są najmniejsze liczby o tej własności.

Przedłużając odcinek $AB$ do odcinka $AE$ o długości $m$ oraz odkładając na boku $AC$ odcinek $AD$ o długości $n,$ otrzymuje się wraz z punktami $D,\ E$ również punkt $F$ będący punktem przecięcia odcinków $BC$ oraz $DE.$ Ponadto można wyróżnić dwa równoramienne trójkąty prostokątne $EBF$ oraz $CDF$ podobne do $ABC$ o przyprostokątnych długości $m-n$ i przeciwprostokątnych $2n-m.$

Ponieważ $n<m<2n,$ to nieujemne długości $n'=m-n$ oraz $m'=2n-m$ są mniejsze odpowiednio od $n$ oraz $m$ i również spełniają ${\sqrt {2}}=m'/n'$ (z konstrukcji), co przeczy założeniu minimalności liczb $m,\ n$ o tej własności. Sprzeczność ta dowodzi, iż ${\sqrt {2}}$ nie może być liczbą wymierną.

Dowód arytmetyczny

Niech ${\sqrt {2}}$ będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne $m$ oraz $n,$ że ${\sqrt {2}}=m/n,$ przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, że są względnie pierwsze.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu, otrzymuje się $2=m^{2}/n^{2},$ skąd $2n^{2}=m^{2}.$ Ponieważ $2n^{2}$ jest liczbą parzystą, to i $m^{2}$ jest parzysta. Skoro kwadrat liczby jest parzysty, to liczba też jest parzysta^[a]; stąd $m=2k$ dla pewnej liczby naturalnej $k,.$ Podstawienie tego wyrażenia do poprzedniego równania daje $m^{2}=(2k)^{2}=4k^{2},$ zatem $2n^{2}=4k^{2},$ tj. $n^{2}=2k^{2},$ co oznacza, że liczba $n^{2},$ a stąd także $n,$ jest parzysta.

Skoro $m,n$ są jednocześnie parzyste, więc nie są względnie pierwsze. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba ${\sqrt {2}}$ jest niewymierna.

Własności

Przekrój Dedekinda dla pierwiastka kwadratowego z 2.

Poza niewymiernością opisaną w poprzedniej sekcji pierwiastek z 2 ma szereg innych własności; przykładowo połowa ${\sqrt {2}}$ wynosząca ok. 0,70710 67811 86548, która bywa wykorzystywana przede wszystkim w geometrii i trygonometrii, gdyż wersor tworzący kąt 45° z osiami układu współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie euklidesowej ma współrzędne

\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right).

Liczba ta spełnia

{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ }).

Inną własnością pierwiastka kwadratowego z 2 jest:

{\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}} 1,

gdyż $\left({\sqrt {2}} 1\right)\left({\sqrt {2}}-1\right)=2-1=1.$ Jest to związane z właściwościami srebrnego podziału.

Kolejna własność pierwiastka kwadratowego z 2 to:

{\sqrt {2 {\sqrt {2 {\sqrt {2 \ldots }}}}}}=2.

Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać wyrażony za pomocą jednostek urojonych i, wykorzystując tylko pierwiastkowanie i operacje arytmetyczne:

{\frac {{\sqrt {i}} i{\sqrt {i}}}{i}}{\text{ i }}{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.

Pierwiastek kwadratowy z 2 jest także jedyną liczbą rzeczywistą różną od 1, której nieskończone potęgowanie przez siebie samą jest równe jej kwadratowi.

{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2.

Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać użyty do aproksymacji π:

2^{m}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2 {\sqrt {2 \ldots  {\sqrt {2}}}}}}}} _{m}\to \pi \quad {\text{ gdy }}m\to \infty

dla $m$ pierwiastków kwadratowych i tylko jednego odejmowania^[7].

Reprezentacje

Przedstawienia
Dwójkowo	1,0110101000001001111…
Dziesiętnie	1,4142135623730950488…
Szesnastkowo	1,6A09E667F3BCC908B2F…
Ułamek łańcuchowy	$[1;2,2,2,2,\dots ]$

Tożsamość $\cos(\pi /4)=\sin(\pi /4)=1/{\sqrt {2}},$ przy uwzględnieniu nieskończonych reprezentacji iloczynowych dla sinusa i cosinusa, prowadzi do następującej zależności

{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k 2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\ldots

i

{\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k 2)^{2}}{(4k 1)(4k 3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\ldots

lub równoważnie,

{\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1 {\frac {1}{4k 1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k 3}}\right)=\left(1 {\frac {1}{1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1 {\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\ldots

Ta liczba może także być wyrażona za pomocą szeregów Taylora z funkcji trygonometrycznych. Na przykład seria dla $\cos(\pi /4)$ daje

{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.

Szereg Taylora z ${\sqrt {1 x}}$ dla $x=1$ i silnia podwójna $n!!$ daje

{\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k 1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1 {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}} {\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}} \ldots

Zbieżność szeregu może być przyspieszona przez przekształcenie Eulera, prowadzące do postaci

{\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k 1)!}{(k!)^{2}2^{3k 1}}}={\frac {1}{2}} {\frac {3}{8}} {\frac {15}{64}} {\frac {35}{256}} {\frac {315}{4096}} {\frac {693}{16384}} \ldots

Nie wiadomo czy ${\sqrt {2}}$ może być przedstawiony za pomocą formuły typu BBP, aczkolwiek formuły typu BBP są znane dla $\pi {\sqrt {2}}$ i ${\sqrt {2}}\ln(1 {\sqrt {2}})$ ^[8].

Przybliżenia

Zobacz też: algorytm.

O doniosłości tej liczby mówi fakt, iż wśród stałych matematycznych z większą dokładnością obliczono jedynie stałą π^[9]. Istnieje wiele algorytmów przybliżania pierwiastka kwadratowego z 2. Najczęściej stosowaną metodą, używaną jako podstawowa na wielu komputerach i kalkulatorach, jest tzw. „metoda babilońska”^[b] obliczania pierwiastka kwadratowego (zwana także metodą Herona), która jest jedną z wielu metod. Algorytm jest następujący:

wybrać liczbę początkową $a_{0}>0,$ która ma wpływ jedynie na liczbę iteracji niezbędną do osiągnięcia przybliżenia z żądaną dokładnością;
wykonać kolejne obliczenia rekurencyjne:
$a_{n 1}={\frac {a_{n} {\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}} {\frac {1}{a_{n}}}.$

Zwiększenie liczby iteracji algorytmu, tj. przeprowadzenie obliczeń dla większej liczby $n,$ zwiększa średnio dwukrotnie liczbę poprawnych cyfr rozwinięcia. Przyjęcie $a_{0}=1$ daje następujące przybliżenia

{\begin{array}{l}a_{1}&=3/2&={\boldsymbol {1}}{,}5\\a_{2}&=17/12&={\boldsymbol {1{,}41}}6\dots \\a_{3}&=577/408&={\boldsymbol {1{,}41421}}5\dots \\a_{4}&=665857/470832&={\boldsymbol {1{,}41421356237}}46\dots \\\dots \end{array}}

W 1997 roku zespół Yasumasy Kanady obliczył wartość pierwiastka z 2 z dokładnością do 137 438 953 444 cyfr po przecinku. W lutym 2006 roku pobito rekord przybliżania tej liczby przy użyciu komputera domowego: Shigeru Kondo obliczył 200 000 000 000 cyfr po przecinku w nieco ponad 13 dni i 14 godzin, używając PC 3,6 GHz z 16 GiB pamięci^[10].

Zastosowania

Format papieru

Zobacz też: format arkusza.

Cztery linie: cztery etapy konstrukcji arkusza o standardowych wymiarach za pomocą cyrkla i ekierki. Jeśli wymiar d wynosi 21 cm, to otrzymany prostokąt ma wymiary arkusza A4.

Stosunek długości do szerokości arkusza jest dobrym przybliżeniem √2.

Rozmiary papieru formatu A, B i C normy ISO 216 zostały celowo tak zaprojektowane, żeby po podzieleniu na dwie równe części uzyskać dwa arkusze o tych samych proporcjach długości do szerokości. Jest to możliwe, tylko jeśli ten stosunek wynosi √2. W praktyce rzeczywiste wymiary są zaokrąglone do pełnych milimetrów.

*Przybliżone wymiary A0-A4 wyrażone w √2. W praktyce, wymiary są zaokrąglone.*
Format	Długość [m]	Szerokość [m]	Powierzchnia [m²]
A0	${\sqrt {\sqrt {2}}}$	${\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}}$	$1$
A1	${\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}}$	${\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$
A2	${\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2{\sqrt {2}}}}$	${\frac {1}{4}}$
A3	${\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2{\sqrt {2}}}}$	${\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {1}{8}}$
A4	${\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {\sqrt {2}}}{4{\sqrt {2}}}}$	${\frac {1}{16}}$

Serie formatu B i C różnią się od serii A odpowiednio o czynnik ⁴√2 (~ 1,19) i ⁸√2 (~ 1,09).

Współczynniki skalujące stosowane w kserokopiarkach o wartościach 200%, 141%, 71%, 50% to przybliżone wartości (√2)ⁿ. Umożliwiają one zmianę formatu na większą lub mniejszą, bądź też wydruk 2ⁿ kopii/stron na arkusz.

Muzyka

Zobacz też: System równomiernie temperowany.

System równomiernie temperowany jest utworzony w następujący sposób: stosunek częstotliwości między skrajnymi nutami w oktawie wynosi 2; a cała gama jest podzielona na dwanaście równych półtonów, tj. stosunek częstotliwości między kolejnymi dźwiękami jest stały i wynosi ƒ = 2^1/12.

Stosunek częstotliwości nuty w gamie równomiernie temperowanej do częstotliwości najniższej nuty w gamie.
do	do♯	re	re♯	mi	fa	fa♯	sol	sol♯	la	la♯	si	do
1	2^1/12	2^1/6	2^1/4	2^1/3	2^5/12	√2	2^7/12	2^2/3	2^3/4	2^5/6	2^11/12	2

W tym systemie, kwarta zwiększona (do–fa♯) i kwinta zmniejszona (do-sol♭) są takie same, a odległość między dźwiękami wynosi 6 półtonów (tryton), których stosunek częstotliwości wynosi ${\sqrt {2}}.$ W dawnej muzyce kościelnej używanie kwinty zmniejszonej lub kwarty zwiększonej było zakazane, ponieważ interwały te wydawały się takimi dysonansami, że uznawano je za stworzone przez diabła, nazywając je z łaciny „diabolus in musica” (dosłownie „diabeł w muzyce”).

Elektryczność

Zobacz też: Wartość skuteczna.

Ogólnie znana wartość napięcia elektrycznego 230 V, to wartość skuteczna napięcia przemiennego. Aby poznać wartość maksymalną tego napięcia należy wartość skuteczną pomnożyć przez ${\sqrt {2}}.$

U_{max}=U_{sk}{\sqrt {2}}=230V{\sqrt {2}}\simeq 325V

Zobacz też

Uwagi

↑ Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej $n^{2}$ jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą parzystą.
Dowód: (→) Jeśli $n=2k$ jest parzysta, to równość $n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}=2(2k^{2}),$ oznacza, iż $n^{2}$ jest parzysta, gdyż $2k^{2}$ jest liczbą naturalną jako ich iloczyn. (←) Dowód nie wprost: skoro $n=2k 1$ jest nieparzysta, to $n^{2}=(2k 1)^{2}=4k^{2} 4k 1=2(2k^{2} 2k) 1,$ co oznacza, że $n^{2}$ jest nieparzysta jako suma liczby parzystej oraz jedności.
↑ Mimo że określenie „metoda babilońska” jest w ogólnym użyciu, nie ma przesłanek wskazujących jak Babilończycy obliczyli przybliżenie ${\sqrt {2}}$ odczytane z tabliczki YBC 7289. Fowler i Robson proponują informacje i szczegółowe domysły (Fowler i Robson, s. 376. Flannery, s. 32, 158).

Przypisy

↑ (ciąg A002193 w OEIS)
↑ Fowler and Robson, s. 368.
Zdjęcie, szkic i opis tabliczki root(2) z Yale Babylonian Collection. it.stlawu.edu. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-08-13)].
Zdjęcia wysokiej rozdzielczości, opisy i analiza tabliczki root(2) (YBC 7289) z Yale Babylonian Collection.
↑ Henderson.
↑ Stephanie J. Morris, „The Pythagorean Theorem”, Dept. of Math. Ed., University of Georgia.
↑ Brian Clegg, „The Dangerous Ratio…”, Nrich.org, November 2004.
↑ Kurt von Fritz, „The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum”, Annals of Mathematics, 1945.
↑ Richard Courant, Herbert Robbins: What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. London: Oxford University Press, 1941, s. 124.
↑ Zarchiwizowana kopia. [dostęp 2010-11-09]. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-05-22)].
↑ Liczba znanych cyfr.
↑ http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Constants and Records of Computation.

Linki zewnętrzne

MateuszM. Dębowski MateuszM., Dlaczego √2 nie pasuje do liczb wymiernych?, „Delta”, wrzesień 2018, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-03] .
JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem, „Delta”, maj 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-12-10] .

[7] Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej $n^{2}$ jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą parzystą.
Dowód: (→) Jeśli $n=2k$ jest parzysta, to równość $n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}=2(2k^{2}),$ oznacza, iż $n^{2}$ jest parzysta, gdyż $2k^{2}$ jest liczbą naturalną jako ich iloczyn. (←) Dowód nie wprost: skoro $n=2k 1$ jest nieparzysta, to $n^{2}=(2k 1)^{2}=4k^{2} 4k 1=2(2k^{2} 2k) 1,$ co oznacza, że $n^{2}$ jest nieparzysta jako suma liczby parzystej oraz jedności.

[11] Mimo że określenie „metoda babilońska” jest w ogólnym użyciu, nie ma przesłanek wskazujących jak Babilończycy obliczyli przybliżenie ${\sqrt {2}}$ odczytane z tabliczki YBC 7289. Fowler i Robson proponują informacje i szczegółowe domysły (Fowler i Robson, s. 376. Flannery, s. 32, 158).

[1] (ciąg A002193 w OEIS)

[2] Fowler and Robson, s. 368.
Zdjęcie, szkic i opis tabliczki root(2) z Yale Babylonian Collection. it.stlawu.edu. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-08-13)].
Zdjęcia wysokiej rozdzielczości, opisy i analiza tabliczki root(2) (YBC 7289) z Yale Babylonian Collection.

[3] Henderson.

[4] Stephanie J. Morris, „The Pythagorean Theorem”, Dept. of Math. Ed., University of Georgia.

[5] Brian Clegg, „The Dangerous Ratio…”, Nrich.org, November 2004.

[6] Kurt von Fritz, „The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum”, Annals of Mathematics, 1945.

[8] Richard Courant, Herbert Robbins: What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. London: Oxford University Press, 1941, s. 124.

[9] Zarchiwizowana kopia. [dostęp 2010-11-09]. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-05-22)].

[10] Liczba znanych cyfr.

[12] ttp://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Constants and Records of Computation.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[a]

[7]

[8]

[9]

[b]

[10]