Nombre complèxe

En matematicas, un nombre complèxe es un nombre format d'una partida reala amb una partida imaginària: s'escriu a   bi (o a   ib), onte a, b son de nombres reaus, e i es l'unitat imaginària, tala que i ² = −1.

Se representa geometricament cada nombre complèxe a   bi per lo ponch dau plan euclidian qu'a per coordenadas a e b.

Se pòt addicionar, multiplicar, sostraire e dividir lei nombres complèxes: l'ensemble $\mathbb {C}$ d'aquelei nombres es un còrs commutatiu que contèn lo còrs $\mathbb {R}$ dei nombres reaus; se ditz que n'es una extension.

Lei nombres complèxes foguèron introduchs per lei matematicians italians de la Renaissença, que cercavan d'exprimir lei racinas deis eqüacions algebricas dau tresen gra. Una proprietat remarcabla, lo teorèma fondamentau de l'algèbra (sovent atribuit a Gauss), afirma que tota eqüacion algebrica de gra diferent de 0 amb coeficients reaus o complèxes tèn aumens una racina complèxa (eventualament reala).

Lei nombres complèxes s'utilizan dins totei lei domenis dei matematicas, e mai en fisica (particularament en electronica e electrotecnica e en mecanica qüantica).

Remarca: dins aquest article, lei letras a, b, c, d, x, y designaràn de nombres reaus (franc de mencion contrària).

Definicions e proprietats elementàrias

Article detalhat: Istòria dei nombres complèxes.

Notacions

Un nombre complèxe z s'escriu a   bi, onte a, b son de nombres reaus, e i es l'unitat imaginària, tala que i ² = −1.

Lei nombres reaus a, b son sonats respectivament partida reala, partida imaginària dau nombre complèxe z. Veirem infra que l'escritura dau nombre complèxe z sota la forma a   bi es unica; doncas la partida reala e la partida imaginària de z son unicas. S'utiliza lei notacions:

a = Re(z) o a = ℜ(z), b = Im(z) o b = ℑ(z).

L'ensemble dei nombres complèxes se nòta $\mathbb {C}$ o C; es una extension de l'ensemble $\mathbb {R}$ dei nombres reaus: s'identifica cada nombre complèxe de partida imaginària nulla amb sa partida reala, autrament dich, s'identifica cada nombre complèxe de la forma a   0i amb lo nombre reau a.

Lei nombres complèxes de partida reala nulla son dichs imaginaris purs; cada nombre imaginari pur 0   bi se nòta simplament bi.

Remarca: en electronica e electrotecnica, se nòta generalament j l'unitat imaginària, que dins aqueu contèxte, la letra i designa l'intensitat electrica.

Egalitat

L'egalitat entre dos nombres complèxes equivau a doas egalitats entre nombres reaus. Per definicion, dos nombres complèxes a   bi, c   di son egaus, çò que s'escriu a   bi = c   di, se e solament se a = c e b = d.

En particular, lo solet nombre complèxe qu'es au còp reau e imaginari pur es 0, car:

a = bi o a   0i = 0   bi equivau a a = 0 e b = 0

Addicion e multiplicacion

Sián dos nombres complèxes z = a   bi e w = c   di. Se definís ansin la soma e lo produch de z, w:

• Addicion: z w = (a c)   (b d)i
• Multiplicacion:

z w = ac bci adi bdi ² = (ac − bd)   (ad bc)i

(estent que per definicion de l'unitat imaginària, i ² = −1)

Aquelei doas operacions subre lei nombres complèxes an lei meteissei proprietats algebricas (associativitat, commutativitat, distributivitat de la multiplicacion a respècte de l'addicion) que leis operacions correspondentas subre lei nombres reaus.

Ansin, provesit d'aqueleis operacions, l'ensemble $\mathbb {C}$ es un anèu commutatiu. L'element neutre de l'addicion es 0 = 0   0i. L'element neutre de la multiplicacion es 1 = 1   0i.

Conjugason

Per cada nombre complèxe

$z=a bi\,$,

se definís son conjugat, notat ${\overline {z}}$:

${\overline {z}}=a-bi$

($z$ e ${\overline {z}}$ an la meteissa partida reala, e de partidas imaginàrias opausadas).

Alora:

$\operatorname {Re} (z)={\frac {z {\overline {z}}}{2}}{\text{ e }}\operatorname {Im} (z)={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}$

Demostracion

$z {\overline {z}}=2a=2\,\operatorname {Re} (z){\text{ e }}z-{\overline {z}}=2bi=2i\,\operatorname {Im} (z)$

 

Se'n dedutz que per un nombre complèxe z:

• z es reau se e solament se ${\overline {z}}=z$
• z es imaginari pur se e solament se ${\overline {z}}=-z$

Son de bòn verificar lei proprietats seguentas. Se z, w son de nombres complèxes:

• ${\overline {\overline {z}}}=z$
• ${\overline {z w}}={\overline {z}} {\overline {w}}$
• ${\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$

Aiçò s'exprimís ansin: l'aplicacion $\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto {\overline {z}}$ (dicha conjugason) es un automorfisme involutiu de l'anèu $\mathbb {C}$; leis elements invariants de l'automorfisme son lei nombres reaus, lei solets que son egaus a son conjugat.

Modul

Lo produch d'un nombre complèxe z = a   bi e de son conjugat es un reau positiu:

$z\;{\overline {z}}=(a bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^{2} b^{2}$

Se sòna modul de z lo nombre reau positiu seguent:

$|z|={\sqrt {a^{2} b^{2}}}$

La relacion provada çai subre s'escriu alora:

$z\;{\overline {z}}=|z|^{2}$

Se remarca que:

$|{\overline {z}}|=|z|{\text{, estent que }}{\sqrt {a^{2} (-b)^{2}}}={\sqrt {a^{2} b^{2}}}$

$|\operatorname {Re} (z)|\leq |z|{\text{ e }}|\operatorname {Im} (z)|\leq |z|{\text{, car }}a^{2}\leq a^{2} b^{2}{\text{ e }}b^{2}\leq a^{2} b^{2}$

Se nòta lo modul d'un nombre complèxe coma la valor absoluda d'un nombre reau; divèrsei rasons pòrtan a faire aquò. La premiera es que se z = a   0i es reau, a per modul:

$|z|={\sqrt {a^{2} 0^{2}}}={\sqrt {a^{2}}}$,

qu'es la valor absoluda de z = a coma nombre reau.

De mai, lo modul a de proprietats comunas amb la valor absoluda dei reaus: se z, w son de nombres complèxes,

• $|z|\geq 0$
• $|z|=0{\text{ se e solament se }}z=0$
• $|z\,w|=|z|\cdot |w|$
• $|z w|\leq |z| |w|$ (inegalitat triangulara)

Demostracion

Se demòstra premier la tresena proprietat:

$|z\,w|^{2}=(z\,w){\overline {(z\,w)}}=z\,w\,{\overline {z}}\,{\overline {w}}=(z\,{\overline {z}})(w\,{\overline {w}})=|z|^{2}\,|w|^{2}=\left(|z|\cdot |w|\right)^{2}$

Remarca: amb lei notacions ja utilizadas, s'obtèn la relacion seguenta que se pòt verificar directament:

$\left(a^{2} b^{2}\right)\left(c^{2} d^{2}\right)=\left(ac-bd\right)^{2} \left(ad bc\right)^{2}{\text{ (identitat de Brahmagupta)}}$

Se demòstra puei l'inegalitat triangulara. Sufís de provar que la diferéncia D ansin definida es positiva:

$D=\left(|z| |w|\right)^{2}-|z w|^{2}.$

Se desvolopa D:

$\left(|z| |w|\right)^{2}=|z|^{2} |w|^{2} 2|z|\cdot |w|$

$|z w|^{2}=(z w)\,{\overline {(z w)}}=(z w)\,({\overline {z}} {\overline {w}})=|z|^{2} |w|^{2} (z\,{\overline {w}} {\overline {z}}\,w)$

o

$|z w|^{2}=|z|^{2} |w|^{2} 2\,\operatorname {Re} (z\,{\overline {w}}){\text{, car }}{\overline {z}}\,w{\text{ es lo conjugat de }}z\,{\overline {w}}$

Doncas:

$D=2\left[|z|\cdot |w|-\operatorname {Re} (z\,{\overline {w}})\right]$

La positivitat de D resulta deis inegalitats seguentas:

$\operatorname {Re} (z\,{\overline {w}})\leq |\operatorname {Re} (z\,{\overline {w}})|\leq |z\,{\overline {w}}|=|z|\cdot |{\overline {w}}|=|z|\cdot |w|$

 

Distància definida per mejan dau modul

Se definís la distància de dos nombres complèxes z, w quins que sián coma lo nombre reau positiu:

$d(z,w)=|z-w|\,$

L'ensemble $\mathbb {C}$ es ansin provesit d'una estructura d'espaci metric.

Invèrs

Se z = a   bi es un nombre complèxe non nul (valent a dire a ≠ 0 o b ≠ 0), alora

$z{\overline {z}}=|z|^{2}\neq 0.$

Aiçò se pòt escriure: $z\left({\frac {1}{|z|^{2}}}\,{\overline {z}}\right)=1$ e pròva que tot nombre complèxe non nul a un invèrs (per la multiplicacion):

$z^{-1}={\frac {1}{|z|^{2}}}\,{\overline {z}}$

En conclusion, l'ensemble $\mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ dei nombres complèxes non nuls es un grop multiplicatiu (commutatiu).

Demostracion

• Se mòstra que la multiplicacion es una lèi de composicion intèrna dins $\mathbb {C} ^{*}$, autrament dich que lo produch de dos nombres complèxes non nuls z, w es non nul: basta de remarcar que

$|z\,w|=|z|\cdot |w]\neq 0{\text{, estent que }}|z|\neq 0{\text{ e }}|w|\neq 0$ (produch de dos nombres reaus non nuls)

• Se saup que la multiplicacion dei nombres complèxes es associativa e que lo nombre 1 es element neutre
• Enfin, s'es mostrat çai sus que tot element de $\mathbb {C} ^{*}$ es invertible, çò qu'acaba la demostracion que $\mathbb {C} ^{*}$ es un grop

 

Exemple

Siá per exemple

$z=1 i{\sqrt {3}}$;

alora

$z{\overline {z}}=1 3=4$

doncas

$z^{-1}={\frac {1}{4}}\,{\overline {z}}={\frac {1}{4}}\,\left(1-i{\sqrt {3}}\right)$

 

Estructura de còrs commutatiu

L'ensemble $\mathbb {C}$ dei nombres complèxes es un anèu commutatiu onte cada element non nul es invertible, autrament dich, es un còrs commutatiu.

Division

Se pòt finalament definir lo quocient de dos nombres complèxes. Se z = a   bi e w = c   di son dos nombres complèxes e se w ≠ 0, se pausa:

${\frac {z}{w}}=z\,w^{-1}$

En particular:

${\frac {1}{w}}=w^{-1}={\frac {1}{|w|^{2}}}\,{\overline {w}}={\frac {\overline {w}}{|w|^{2}}}.$

En practica, s'escriu:

${\frac {z}{w}}={\frac {z\,{\overline {w}}}{w\,{\overline {w}}}}={\frac {z\,{\overline {w}}}{|w|^{2}}}={\frac {(a bi)(c-di)}{c^{2} d^{2}}}=\left({\frac {ac bd}{c^{2} d^{2}}}\right) \left({\frac {bc-ad}{c^{2} d^{2}}}\right)i.$

Grop dei nombres complèxes de modul unitat

Se nòta $\mathbb {U}$ l'ensemble dei nombres complèxes z taus que |z | = 1; per exemple ${\frac {3 4i}{5}}\in \mathbb {U} .$ L'apartenéncia d'un nombre complèxe z a $\mathbb {U}$ equivau a:

$|z|^{2}=1{\text{ o }}z\,{\overline {z}}=1{\text{ o }}z^{-1}={\overline {z}}.$

Leis elements de $\mathbb {U}$ se caracterizan entre leis nombres complèxes non nuls per l'egalitat

$z^{-1}={\overline {z}}.$

L'ensemble $\mathbb {U}$ es un sosgrop dau grop multiplicatiu $\mathbb {C} ^{*}$; ne resulta que $\mathbb {U}$ es un grop multiplicatiu.

Demostracion

• L'ensemble $\mathbb {U}$ es pas vuege
• Se $z\in \mathbb {U} {\text{ e }}w\in \mathbb {U}$, alora $zw\in \mathbb {U}$ car:

$|zw|=|z|\cdot |w|=1\cdot 1=1$

• De mai, se $z\in \mathbb {U}$, alora $z^{-1}={\overline {z}}\in \mathbb {U}$ car:

$|z^{-1}|=|{\overline {z}}|=|z|=1$

Tot aiçò pròva que $\mathbb {U}$ es un sosgrop dau grop multiplicatiu $\mathbb {C} ^{*}$.

Tanben, se pòt remarcar que coma lo modul d'un produch es lo produch dei moduls, l'aplicacion

$\psi :\mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*},z\mapsto |z|$

es un morfisme de grops multiplicatius.

Alora, $\mathbb {U} =\{z\in \mathbb {C} ^{*}|\psi (z)=1\}=\ker(\psi )$ es un sosgrop dau grop multiplicatiu $\mathbb {C} ^{*}$ (lo nuclèu d'un morfisme de grops es un sosgrop dau grop de partença).

 

Representacion geometrica

Plan complèxe

Representacion geometrica dei nombres complèxes

Se pòt representar cada nombre complèxe z = a   bi per lo ponch dau plan euclidian qu'a per coordenadas (a, b) dins una basa ortonormala chausida un còp per totei. Aqueu plan (unic, franc d'isomorfisme), es dich plan complèxe.

En particular:

• Lei nombres reaus a = a   0i son representats per lei ponchs de coordenadas (a, 0), valent a dire aquelei qu'apartènon a l'axe deis abscissas, que dins aquest contèxte se li ditz axe reau dau plan complèxe.
• Lei nombres imaginaris purs bi = 0   bi son representats per lei ponchs de coordenadas (0, b), valent a dire aquelei qu'apartènon a l'axe deis ordenadas, que dins aquest contèxte se li ditz axe imaginari dau plan complèxe.

Escritura exponenciala dei nombres complèxes de modul unitat

Siá $u=a bi\in \mathbb {U}$; alora $a^{2} b^{2}=1$.

Interpretacion geometrica: la relacion $a^{2} b^{2}=1$ significa que lo ponch de coordenadas (a, b) dau plan complèxe apartèn au cercle centrat a l'origina e de rai unitat (lo «cercle trigonometric»); existís un reau $\varphi$ tau que:

$a=\cos \varphi {\text{ e }}b=\sin \varphi .$

Finalament, per tot nombre complèxe u tau que |u | = 1, existís $\varphi \in \mathbb {R}$ tau que

$u=\cos \varphi i\,\sin \varphi =\mathrm {e} ^{i\varphi }\,$

segon la formula d'Euler.

Lo reau $\varphi$ es jamai unic; se $\varphi _{0}$ es un reau (particular) tau que

$\mathrm {e} ^{i\varphi _{0}}=u{\text{, valent a dire }}\cos \varphi _{0}=a{\text{ e }}\sin \varphi _{0}=b,$

alora lei reaus $\varphi$ taus que $\mathrm {e} ^{i\varphi }=u$, valent a dire

$\cos \varphi =a=\cos \varphi _{0}{\text{ e }}\sin \varphi =b=\sin \varphi _{0}$

son aquelei que s'escrivon $\varphi =\varphi _{0} 2k\pi {\text{, per un entier }}k\in \mathbb {Z} .$

Exemple

Per exemple, $u={\frac {1}{2}} i\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\in \mathbb {U}$. Se pòt escriure:

${\frac {1}{2}}=\cos {\frac {\pi }{3}}{\text{ e }}{\frac {\sqrt {3}}{2}}=\sin {\frac {\pi }{3}}$

doncas

$u=\mathrm {e} ^{i{\frac {\pi }{3}}}.$

Lei reaus $\varphi$ taus que

$\mathrm {e} ^{i\varphi }=\mathrm {e} ^{i{\frac {\pi }{3}}}$

son aquelei que s'escrivon $\varphi ={\frac {\pi }{3}} 2k\pi {\text{, per un entier }}k\in \mathbb {Z} .$

 

Escritura polara e argument

Modul e argument d'un nombre complèxe non nul

Se z es un nombre complèxe non nul, son modul r = |z | es un nombre reau (positiu) non nul. Pausem:

$u={\frac {1}{r}}z$

Lo nombre complèxe u es un element de l'ensemble $\mathbb {U}$ car per definicion de r:

$|u|={\frac {1}{r}}|z|=1$

Se pòt escriure

$u=\mathrm {e} ^{i\varphi }{\text{, onte }}\varphi \in \mathbb {R} {\text{, puei }}z=ru=r\mathrm {e} ^{i\varphi }\,.$

L'escritura:

$z=r\mathrm {e} ^{i\varphi }{\text{, onte }}r=|z|>0{\text{ e }}\varphi \in \mathbb {R}$

es sonada forma polara dau nombre complèxe (non nul) z. Se ditz que cada nombre reau $\varphi$ tau que

$z=|z|\mathrm {e} ^{i\varphi }$

es un argument de z (s'es vist çai subre que $\varphi$ es jamai unic).

Exemple

Per exemple, se $z=1 i\,{\sqrt {3}}$,

$|z|^{2}=1 3=4{\text{ e }}r=|z|=2\,$.

Alora (cf. supra):

$u={\frac {1}{r}}z={\frac {1}{2}} i\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}=\mathrm {e} ^{i{\frac {\pi }{3}}}$

Se conclutz que la forma polara de z es:

$z=ru=2\,\mathrm {e} ^{i{\frac {\pi }{3}}}$

Lo nombre complèxe z a per modul 2 e per argument ${\frac {\pi }{3}}$.

 

Operacions en forma polara

Sián tres nombres complèxes non nuls exprimits en forma polara:

$z_{1}=r_{1}\,\mathrm {e} ^{i\varphi _{1}}{\text{, }}z_{2}=r_{2}\,\mathrm {e} ^{i\varphi _{2}}{\text{ e }}z=r\,\mathrm {e} ^{i\varphi }{\text{, onte }}r_{1}>0{\text{, }}r_{2}>0{\text{ e }}r>0$

Multiplicacion

D'après la proprietat classica de l'exponenciala:

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\,\mathrm {e} ^{i\varphi _{1}}\,\mathrm {e} ^{i\varphi _{2}}=r_{1}r_{2}\,\mathrm {e} ^{i(\varphi _{1} \varphi _{2})}$

Lo produch $z_{1}\,z_{2}$ a per modul $r_{1}\,r_{2}$ (proprietat ja enonciada) e per argument $\varphi _{1} \varphi _{2}$.

Division

Parierament:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,\mathrm {e} ^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

En particular:

$z^{-1}={\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\,\mathrm {e} ^{-i\varphi }$

Poténcias

$z^{n}=r^{n}\,\mathrm {e} ^{in\varphi }{\text{ per tot }}n\in \mathbb {Z}$

Demostracion

• Per n ≥ 0, se demòstra per recurréncia. La proprietat es clara per n = 0. Se se supausa la proprietat verificada per una valor n, alora:

$z^{n 1}=z^{n}\,z=(r^{n}\,\mathrm {e} ^{in\varphi })(r\,\mathrm {e} ^{i\varphi })=r^{n 1}\,\mathrm {e} ^{i(n 1)\varphi }$

• Per n < 0, se pausa m = − n: m ≥ 1. Alora:

$z^{n}=(z^{-1})^{m}=\left({\frac {1}{r}}\,\mathrm {e} ^{-i\varphi }\right)^{m}={\frac {1}{r^{m}}}\,\mathrm {e} ^{-im\varphi }=r^{n}\,\mathrm {e} ^{in\varphi }$

(la tresena egalitat resulta de la premiera partida de la demostracion, aplicada a $z^{-1}$ e m, en plaça de z e n).

 

Conjugat

Representation d'un nombre complèxe e de son conjugat dins lo plan complèxe.

${\overline {z}}=r\,\mathrm {e} ^{-i\varphi }$

Un nombre complèxe e son conjugat an lo meteis modul, e d'arguments opausats. Aiçò exprimís en forma polara que son representats per de ponchs dau plan complèxe simetrics a respècte de l'axe reau.

Demostracion

Coma $z=r\left(\cos \varphi i\sin \varphi \right)$, alora:

${\overline {z}}=r\left(\cos \varphi -i\sin \varphi \right)=r\,\left(\cos(-\varphi ) i\sin(-\varphi )\right)=r\,\mathrm {e} ^{-i\varphi }.$

 

Construccions dau còrs dei nombres complèxes

Segon la concepcion modèrna, axiomatica, dei matematicas, l'introduccion d'un objècte matematic novèu necessita sa construccion segon lei règlas de la teoria deis ensembles, a partir d'objèctes preexistents. Es aquela construccion que legitima l'existéncia matematica de la nocion novèla.

Se balha çai sota doas construccions dau còrs dei nombres complèxes. Menan en d'objèctes diferents, mai isomòrfs, valent a dire d'estructura identica, tala que:

• existís un soscòrs ${\widehat {\mathbb {R} }}$ de $\mathbb {C}$ isomòrf au còrs $\mathbb {R}$ dei nombres reaus; se pòt alora identificar ${\widehat {\mathbb {R} }}$ amb $\mathbb {R}$, e considerar aquest darrier coma un soscòrs dau còrs $\mathbb {C}$ novament construch
• existís dos elements de $\mathbb {C}$ qu'an per carrat −1; se se nòta i un dei dos, l'autre es −i
• l'ensemble $\mathbb {C}$ a una estructura d'espaci vectoriau reau de dimension 2 e la familha (1, i) n'es una basa, dicha basa canonica. Informalament, aiçò significa que cada nombre complèxe es definit per dos nombres reaus

Construccion usuala

Segon aquela construccion, deguda au matematician e fisician irlandés Hamilton, $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ es l'ensemble dei pareus (x, y) de nombres reaus. Se provesís l'ensemble $\mathbb {C}$ de son estructura canonica d'espaci vectoriau reau de dimension 2.

Autrament dich, se $z=(a,b)\in \mathbb {C}$, $w=(c,d)\in \mathbb {C}$ e $\lambda \in \mathbb {R}$, se definís:

$z w=(a c,b d)\in \mathbb {C}$

$\lambda z=(\lambda a,\lambda b)\in \mathbb {C}$

En mai de l'addicion, se definís ansin una multiplicacion subre l'ensemble $\mathbb {C}$:

$zw=(ac-bd,ad bc)\in \mathbb {C}$

Es de bòn verificar que l'ensemble $\mathbb {C}$, provesit de l'addicion e de la multiplicacion ansin definidas, es un còrs commutatiu. L'element neutre de l'addicion es (0, 0) e l'element neutre de la multiplicacion es (1, 0), car:

$z (0,0)=(a,b) (0,0)=(a 0,b 0)=(a,b)=z\,$

$z\cdot (1,0)=(a,b)\cdot (1,0)=(a\cdot 1-b\cdot 0,a\cdot 0 b\cdot 1)=(a,b)=z$

Ara, se nòta provisoriament ${\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \times \{0\}=\{(a,0)|a\in \mathbb {R} \}.$

• L'element unitat (1, 0) de $\mathbb {C}$ apartèn a ${\widehat {\mathbb {R} }}.$
  
• Segon lei definicions precedentas, se $z=(a,0)\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ e $w=(c,0)\in {\widehat {\mathbb {R} }}$:

$z w=(a c,0)\in {\widehat {\mathbb {R} }}$

$zw=(ac-0^{2},a\cdot 0 0\cdot c)=(ac,0)\in {\widehat {\mathbb {R} }}$

Aiçò pròva que ${\widehat {\mathbb {R} }}$ es un soscòrs de $\mathbb {C}$ e que l'aplicacion $\psi :\mathbb {R} \to {\widehat {\mathbb {R} }},a\mapsto (a,0)$ es un isomorfisme de còrs.

Coma s'es ja dich, s'identificarà cada nombre reau a amb (a, 0): desenant, s'escriurà (a, 0) = a; en particular, (1, 0) = 1.
Se se nòta i = (0, 1), tot element z = (a, b) de $\mathbb {C}$ s'escriu:

$z=(a,0) (0,b)=a\,(1,0) b\,(0,1)=a\,1 b\,i\,$

(expression de z dins la basa canonica (1, i) de $\mathbb {C}$)

Se remarca enfin que:

$i^{2}=(0,1)(0,1)=(0^{2}-1^{2},0\cdot 1 1\cdot 0)=(-1,0)=-1$

e qu'amb aquelei notacions, lei definicions inicialas deis operacions se reescrivon ansin:

$z w=(a c) (b d)i\,$

$\lambda z=\lambda a \lambda bi\,$

$zw=(ac-bd) (ad bc)i\,$

Construccion matriciala

Segon una autra construccion, se definís $\mathbb {C}$ coma l'ensemble dei matritz realas

$z={\begin{bmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{bmatrix}}$

(matritz en basa ortonormala dei similituds dirèctas d'un plan euclidian).

L'element generic z de $\mathbb {C}$ es aqueu que s'escriu:

$z={\begin{bmatrix}a&\;\;0\\0&\;\;a\end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}0&-b\\b&\;\;0\end{bmatrix}}=aI bJ{\text{, onte }}I={\begin{bmatrix}1&\;\;0\\0&\;\;1\end{bmatrix}}{\text{ e }}J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{bmatrix}}$

Lei matritz I (matritz unitat o identitat) e J (matritz de la rotacion d'angle drech dins lo sens trigonometric dirècte) son dos elements de $\mathbb {C}$ (obtenguts respectivament amb a = 1 e b = 0, a = 0 e b = 1).

Aiçò pròva que $\mathbb {C}$ es un espaci vectoriau reau de dimension 2, e la familha (I, J) n'es una basa (dicha «canonica»).

De mai, $J^{2}=-I$: l'interpretacion d'aquela relacion es que doas rotacions d'angle drech dins lo sens dirècte equivalon a una rotacion d'angle plat, siá una simetria a respècte de l'origina dau plan complèxe.

Ansin, se $z=aI bJ$ e $w=cI dJ$ son dos elements de $\mathbb {C}$, alora:

$z w=(a c)I (b d)J\,$,

$zw=ac\,I^{2} bc\,I\cdot J ad\,J\cdot I bd\,J^{2}=(ac-bd)I (ad bc)J$

son dos elements de $\mathbb {C}$.

Per consequent, l'addicion e la multiplicacion son doas lèis de composicion intèrna dins $\mathbb {C}$. Se verifica aisadament que $\mathbb {C}$, provesit d'aqueleis operacions, es un còrs commutatiu.

Enfin, se se nòta ${\widehat {\mathbb {R} }}=\{a\,I|a\in \mathbb {R} \}$, se demòstra coma dins la premiera construccion que ${\widehat {\mathbb {R} }}$ es un soscòrs de $\mathbb {C}$ isomòrf a $\mathbb {R}$, çò que permet d'identificar cada reau a amb l'element a I de $\mathbb {C}$: dins aquest contèxte, s'escriurà a I = a e en particular I = 1. Doncas, en remplaçant la notacion J per la notacion usuala i, l'element generic z de $\mathbb {C}$ s'escriu:

$z=a\,1 b\,i=a b\,i{\text{, onte }}i^{2}=-1\,$

Remarca: quand se compara lei doas construccions, se constata que, e mai leis ensembles construchs sián diferents, son doas «realizacions» isomòrfas dau còrs dei nombres complèxes: lei règlas de calcul son identicas. Dau ponch de vista de l'estructura algebrica, lei dos ensembles (l'ensemble dei pareus de nombres reaus e l'ensemble dei matritz de similituds dirèctas) se pòdon pas destriar.

Bibliografia

•  {{{títol}}}. Bobbs-Merrill. ISBN 978-2-02-009138-1. 
•  {{{títol}}}. CNRS Éditions. ISBN 2-271-06128-8. 
•  {{{títol}}}. 
•  {{{títol}}}.