Tidekraft

Illustrasjon av retningen til tidekraften i et sirkulært område utenfor en masse M til høyre.

Tidekrefter oppstår i et inhomogent gravitasjonsfelt. Forskjellige deler av et himmellegeme eller massivt objekt som befinner seg i et slikt felt, vil dermed bli utsatt for ulike gravitasjonskrefter som vil forandre legemets form.

Navnet kommer fra fenomenet med tidevann på Jorden der Månens tiltrekkingskraft på havets vann har ulik størrelse på den siden som er nærmest Månen sammenlignet med den siden som befinner seg på den andre siden. Dermed skapes en nivåforskjell på havoverflaten som flytter seg med jordrotasjonen og oppleves som flo og fjære.

Fenomenet er imidlertid mer generelt ettersom gravitasjonenfeltet utenfor en masse ifølge Newtons gravitasjonslov avtar med kvadratet av avstanden til massen og rettet mot denne. Dermed utsettes i prinsipp alle himmellegemer for varierende grad av tidekrefter når de befinner seg i nærheten av andre, massive objekt. Av den grunn utøver også for eksempel Solen tidekrefter på Jorden. Men på grunn av den store avstanden er disse noe svakere enn de fra Månen.

Tidekrefter påvirker også samlinger av himmellegemer, slik som stjernehoper og galakser, når de utsettes for gravitasjonen fra andre lignende og nærliggende samlinger. Når to galakser kolliderer med hverandre, vil tidekreftene påvirke deres form. Likedan vil en komet bli slitt i stykker når den havner innenfor Roche-grensen til et annet himmellegeme. Dobbeltstjerner som roterer nær hverandre, vil få en utdradd ellipsoideform. Tidekreftene utenfor sorte hull kan bli ekstremt sterke og rive i stykker andre legemer som kommer i nærheten og eventuelt medføre at restene blir slukt opp av det sorte hullet.

Matematisk beskrivelse

I et gravitasjonspotensial Φ = Φ(r)  vil gravitasjonsfeltet g = - ∇ Φ virke på en masse m med kraften F = m g. Betrakter man to nærliggende punkt r og r Δr, vil forskjellen i gravitasjonsfeltet Δg = g(r Δr) - g(r)  i disse to punktene derfor ha komponentene

$\Delta g_{i}={\partial g_{i} \over \partial x_{j}}\Delta r_{j}=-{\partial ^{2}\Phi \over \partial x_{i}\partial x_{j}}\Delta r_{j}$

når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser. Den dobbeltderiverte av potensialet

$H_{ij}=-{\partial ^{2}\Phi \over \partial x_{i}\partial x_{j}}$

bestemmer derfor tidekreftene i punktet r. Det er en symmetrisk tensor og er direkte forbundet med de geometriske egenskapene til tidrommet i den newtonske grensen av Einsteins generelle relativitetsteori hvor den gir komponentene til Riemanns krumningstensor.

For potensialet Φ = - GM/r  i avstand r fra en sentral masse M, kan denne tensoren lett beregnes. Da er ∂Φ/∂x_i = (GM/r²)(∂r /∂x_i) hvor den deriverte ∂r /∂x_i = x_i /r følger direkte fra avstanden r uttrykt ved sine kartesiske komponenter. Enda en tilsvarende derivasjon gir da

$H_{ij}(r)={GM \over r^{5}}\left(3x_{i}x_{j}-r^{2}\delta _{ij}\right)$

etter å ha innført Kronecker-delta δ_ij = ∂x_i /∂x_j. Disse komponentene av tensoren opptrer også i «kvadrupoltermen» til multipolutviklingen av et mer vilkårlig gravitasjonspotensial.

I praktiske konsekvenser av tidekreftene vil man ofte kjenne disse i et lite område omkring et visst punkt utenfor en annen masse M eller massefordeling. Ligger denne langt borte i en avstand R, vil gravitasjonspotensialet der ha en størrelse Φ = - GM/R. I et lite område i avstand r << R fra dette punktet er da tidekreftene gitt ved komponentene

$\Delta g_{i}=H_{ij}(R)r_{j}={GM \over R^{5}}\left(3X_{i}X_{j}-R^{2}\delta _{ij}\right)r_{j}$

Mer kompakt kan dette resultatet skrives på vektorform som

$\Delta \mathbf {g} ={GM \over R^{3}}\left[3{\hat {\mathbf {R} }}(\mathbf {r} \cdot {\hat {\mathbf {R} }})-\mathbf {r} \right]$

hvor enhetsvektoren ${\hat {\mathbf {R} }}=\mathbf {R} /R.$ Det viser at tidekraften er størst for posisjoner r som er i samme eller motsatt retning som R. Der virker den utover. I retninger vinkelrett på denne virker den innover og har bare halvparten av størrelsen.

Tidevann

Månens L gravitasjonskraft (svart) på Jorden gir tidekrefter (rød) som trekker vannet (blått) mot seg A og bort fra seg B.

Tidevann på Jorden skyldes tidekrefter skapt av Månen og Solen. Hver av dem trekker vannet i verdenshavene mot seg i litt forskjellig grad, noe som oftest skaper en hevelse av havnivået i en retning. Det samme skjer i motsatt retning. Når så Jorden roterer, vil det oppleves som om dette noe høyere nivået beveger seg bort for så å dukke opp igjen etter 12 og 24 timer.

For å kunne finne ut hvor stor denne tidevannseffekten vil bli, er det enklest å tenke seg at Jorden har ingen landmasser og er dekket av vann i en viss høyde h. Når den ikke roterer, vil denne være konstant. Det tilsvarer at havoverflaten er gitt som en ekvipotensialflate Φ = gh = konstant hvor g er tyngdeakselerasjonen på jordoverflaten.

Hvis man nå inkluderer effekten av tidekraften Δg skapt av Månen, vil denne situasjonen bli forandret. Havoverflaten er fremdeles en ekvipotensialflate, men gravitasjonspotensialet på jordoverflaten er litt annerledes. Men tidekraften kan skrives som gradienten Δg = - ∇ Ψ med potensialet

$\Psi =-{GM \over 2R^{3}}\left[3(\mathbf {r} \cdot {\hat {\mathbf {R} }})^{2}-r^{2}\right]$

hvor M er massen til Månen, R er avstanden til den fra Jorden og vektoren r angir et punkt på jordoverflaten som antas å være eksakt kuleformet med radius r. Det totale gravitasjonspotensialet er derfor Φ = gh Ψ.

Igjen er havoverflaten bestemt ved kravet Φ = konstant. Kaller man vinkelen mellom r og R for θ, vil vannhøyden h derfor variere ifølge ligningen

$gh(\theta )={GMr^{2} \over 2R^{3}}\left[3\cos ^{2}\theta -1\right] konstant$

Det viser igjen at havnivået er høyest i retningene θ = 0^° og 180^°, mens det er lavest i de to vertikale retningene θ = 90^° og 270^°. Differansen mellom disse to verdiene angir forskjellen i vannstand mellom flo og fjære og er

$\Delta h={3GMr^{2} \over 2gR^{3}}={3M \over 2m}{\Big (}{r \over R}{\Big )}^{3}r$

da tyngdeakselerasjonen på Jordens overflate er g = Gm/r² hvis m er dens masse. Setter man her inn r = 6378 km, R /r = 60  og m /M = 123, finner man en høydeforskjell Δh = 53 cm. Dette er en typisk verdi, men ofte kan også forskjeller på flere meter bli observert. Det skyldes at i denne enkle betraktningen er det ikke tatt noen hensyn til landmasser, fjorder og forskjellige havdyp som har stor betydning i praksis. Gjøres det med bruk av mer nøyaktige ligninger som ble utledet allerede i 1775 av Laplace, kan mer realistiske resultat finnes.

I en slik beregning må også tidekreftene fra Solen tas med. Selv om dens masse er nesten tredve millioner ganger større en massen til Månen, skaper den en tidekraft som bare er omtrent halvparten effekten fra denne. Grunnen er at Solen er forholdsvis så mye lengre borte og tidekreftene avtar med avstanden i tredje potens.

Litteratur

• B. Gjevik, Lectures on Tides, UNIS, Longyearbyen (2011).