Taylorrekke

Funksjonen $\sin x$ (svart) og tilhørende taylorpolynom av grad 1, 3, 5, 7, 9, 11 og 13. Nøyaktigheten i tilnærmingen øker med graden i polynomet.

Eksponentialfunksjonen (blå) og summen av de n 1 første leddene i maclaurinrekken (rød).

En taylorrekke i matematikk er en representasjon av en funksjon som en rekke, der leddene er definert ved hjelp av den deriverte av funksjonen og der alle deriverte har samme funksjonsargument. Dersom funksjonsargumentet er lik null kalles rekken også en maclaurinrekke.

Taylorrekker er navngitt etter den engelske matematikeren Brook Taylor (1685–1731), som introduserte disse i 1715. Den skotske matematikeren Colin Maclaurin (1690–1746) var en ivrig bruker av spesialtilfellet med funksjonsargument lik null.

Funksjoner kan ofte bli tilnærmet ved hjelp av et endelig antall ledd i en taylorrekke. Taylors teorem gir et estimat for feilen i en slik tilnærming. De første n leddene i en taylorrekke danner et taylorpolynom av grad (n-1). Taylorrekken til en funksjon er grensefunksjonen til følgen av taylorpolynom, dersom grensefunksjonen eksisterer. En funksjon trenger ikke å være lik taylorrekken, selv om rekken konvergerer overalt. En funksjon som er identisk med taylorrekken i et åpent intervall sies å være en analytisk funksjon.

Formell definisjon

Gitt en reell eller kompleks funksjon f(x) som er uendelig mange ganger deriverbar i en omegn om funksjonsargumentet x = a. Taylorrekken til funksjonen er potensrekken

$f(a) {\frac {f'(a)}{1!}}(x-a) {\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2} {\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3} \cdots .$

Alternativt kan dette skrives på mer kompakt form som

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$.

Her er n! lik n-fakultet og f ⁽ⁿ⁾(a) er den n-te deriverte av f for argumentet a. Den nulte deriverte av f er definert til å være lik funksjonen selv.

Når a = 0 kalles rekken maclaurinrekken.

Eksempler

Maclaurinrekken til et vilkårlig polynom er identisk med polynomet.

Maclaurinrekken til funksjonen f(x) =(1 − x)⁻¹ i intervallet |x| < 1 er en geometrisk rekke:

$1 x x^{2} x^{3} \cdots \!$

Taylorrekken til funksjonen f(x) = x⁻¹ med a = 1 er lik

$1-(x-1) (x-1)^{2}-(x-1)^{3} \cdots .\!$

Maclaurinrekken til eksponensialfunksjonen f(x) = e^x er lik

$1 {\frac {x^{1}}{1!}} {\frac {x^{2}}{2!}} {\frac {x^{3}}{3!}} {\frac {x^{4}}{4!}} {\frac {x^{5}}{5!}} \cdots \quad =\quad 1 x {\frac {x^{2}}{2}} {\frac {x^{3}}{6}} {\frac {x^{4}}{24}} {\frac {x^{5}}{120}} \cdots .\!$

Analytiske funksjoner

Utdypende artikkel: Analytisk funksjon

Funksjonen e^−1/x² er ikke analytisk i x = 0: taylorrekken er lik 0, selv om funksjonen ikke er det.

La f(z) være en funksjon der både definisjonsmengden og verdiområdet er i det komplekse planet. Dersom funksjonen er definert med en konvergent potensrekke i et åpent intervall om z = a, så sies funksjonen å være analytisk i dette intervallet. Det vil si at dersom z er et komplekst tall i intervallet, så er

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}.$

Differensiering ledd for ledd gir

${\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}=a_{n}$

slik at potensrekken er identisk med taylorrekken. Funksjonen er altså analytisk i et åpent intervall hvis og bare hvis taylorrekken konvergerer mot funksjonsverdien for et hvert argument i intervallet.

Dersom funksjonen er lik taylorrekken overalt, så sies funksjonen å være en hel funksjon. Eksempler på hele funksjoner er polynom og de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus. Derimot er logaritmefunksjonen ikke hel, og heller ikke den trigonometriske funksjonen tangens.

For en hel funksjonen vil med kjennskap til funksjonsverdien og alle de deriverte i ett punkt kunne beregne funksjonen overalt, ved hjelp av taylorrekken.

For bruk av taylorrekken for en analytisk funksjon gjelder det at

1. De n første leddene i taylorrekken vil kunne brukes som en tilnærming til funksjonen overalt. Tilnærmingen vil bli bedre dess flere ledd som er inkludert.
2. Derivasjon og integrasjon av taylorrekken kan utføres ledd for ledd, og er dermed svært enkel å gjennomføre.

Funksjonstilnærming

Sinusfunksjonen (blå) kan i intervallet [$-\pi ,\pi$] tilnærmes svært nøyaktig med de syv første leddene i maclaurinrekken (rosa)

Taylorpolynomet til funksjonen ln (1 x) gir en nøyaktig tilnærming bare i intervallet -1 < x ≤ 1. Merk at for x > 1 vil taylorpolynom av høyere grad gi en dårligere tilnærming.

I figuren til høyre vises maclaurinrekken til funksjonen sin(x). Den rosa kurven er grafen til et polynom av grad sju:

$\sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}} {\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!$

Ikke for noe argument er feilen i tilnærmingen større enn |x|⁹/9!. I intervallet −1 < x < 1 er feilen mindre enn 0.000003.

En helt annen oppførsel finner en for den naturlige logaritmefunksjonen ln(1 x) , vist i den andre figuren til høyre. Maclaurinrekken til funksjonen konvergerer mot funksjonen bare i intervallet (-1,1]. Utenfor dette intervallet vil høyere-ordens taylorpolynom gi en dårligere tilnærming til funksjonen, tilsvarende det som kan opptre for fourierrekker.

Feilen som opptrer når en tilnærmer en funksjon med sitt n-te-grads taylorpolynom kalles restleddet og betegnes med funksjonen R_n(x;a).

$f(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}(x-a)^{i} R_{n}(x).$

Taylors teorem gir en skranke for størrelsen på restleddet.