Eksklusjon (logikk)

Eksklusjon er en grunnleggende sannhetsfunksjon i setningslogikken (latin exclusio = «utestengning»). Eksklusjonen av to utsagn er sann hvis og bare hvis minst ett av disse utsagnene er falske. Den symbolske skrivemåten for eksklusjonen av to utsagn A og B bruker den såkalte Sheffer-streken:

$\mathbf {A} \mid \mathbf {B}$

og kan uttales som følger:

• «høyst én av A og B,»
• «ikke begge av A og B,»
• «A og B utelukker hverandre.»

I noen programmeringsspråk eller andre sammenhenger der særtegn ikke kan brukes, skrives også «NAND» istedenfor «|». «NAND» er avledet av det engelske uttrykket not and. Dette kommer av at eksklusjonen er negasjonen av en «logisk og»:
$(\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\Leftrightarrow \neg (\mathbf {B} \land \mathbf {A} )$.

Sheffer-streken er oppkalt etter logikeren Henry Maurice Sheffer, som beskrev noen av eksklusjonens interessante egenskaper. Blant annet kan alle andre sannhetsfunksjonene uttrykkes gjennom eksklusjonen:

• negasjon («ikke»), $\neg \mathbf {A} \Leftrightarrow (\mathbf {A} \mid \mathbf {A} )$;
• inklusiv disjunksjon («eller»), $(\mathbf {A} \lor \mathbf {B} )\Leftrightarrow (\neg \mathbf {A} \mid \neg \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid \mathbf {A} )\mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} ))$;
• konjunksjon («og»), $(\mathbf {A} \land \mathbf {B} )\Leftrightarrow \neg (\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\mid (\mathbf {A} \mid \mathbf {B} ))$;
• subjunksjon («hvis»), $(\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {B} )\Leftrightarrow (\mathbf {A} \mid \neg \mathbf {B} )\Leftrightarrow (\mathbf {A} \mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} ))$;
• bisubjunksjon («hvis og bare hvis»), $(\mathbf {A} \leftrightarrow \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\mid ((\mathbf {A} \mid \mathbf {B} )\mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} )))$;
• eksklusiv disjunksjon («enten–eller»), $(\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \mid (\mathbf {B} \mid \mathbf {B} ))\mid ((\mathbf {A} \mid \mathbf {A} )\mid \mathbf {B} ))$;
• tilsvarende fungerer for de resterende sannhetsfunksjonene.