Partisjon (mengdelære)

En partisjon av en mengde M er i matematikk en oppdeling av mengden i ikke-tomme, disjunkte delmengder, slik at unionen av undermengdene er lik M. Ethvert element i M er dermed inneholdt i én og kun én av delmengdene. Delmengdene blir gjerne kalt blokker, deler eller celler.

En partisjon av en mengde i seks celler

Til enhver partisjon svarer det en ekvivalensrelasjon, og alle elementene i en og samme celle kan kalles ekvivalente.

Partisjoner spiller en viktig rolle i integralteori.

Formell definisjon

En partisjon av en mengde M er en samling av ikke-tomme delmengder P_i, slik at

$\bigcup _{i}P_{i}=M\qquad \qquad P_{i}\cap P_{j}=\varnothing {\text{ dersom }}i\neq j$

Her er $\varnothing$ den tomme mengden. Den siste ligningen sier at P_i og P_j er disjunkte dersom i er ulik j.

Eksempler

• For enhver mengde er mengden selv en triviell partisjon.

• For en mengde M med en ikketom delmengde A kan en definere partisjonen {A,B}, der B = M \ A er det relative komplementet til A i M.

• Mengden {1,2,3} har en partisjon lik { {1,2},{3} }. Partisjonen inneholder to celler.

• I planet R² kan en definere en partisjon der hver celle består av en mengde koordinater (x,y) med felles første koordinat x. Hver slik celle er en rett linje i planet.

• Ved å definere 0 = x₁ < x₂ < .... < x_n = 1 kan intervallet (0,1) deles i en partisjon der hver celle består av et intervall (x_i-1,x_i).

Partisjoner og ekvivalensrelasjoner

En binær relasjon S i mengden M kalles en ekvivalensrelasjon dersom den er symmetrisk, refleksiv og transitiv. For hvert element x i mengden kan en da definere en delmengde

$M_{x}=\lbrace y\in M|xSy\rbrace \,$

En slik delmengde er kalt en ekvivalensklasse. Hver ekvivalensklasse er ikke-tom, siden de minst inneholder elementet x. De er også parvis disjunkte. Tilsammen gir dette at mengden av ekvivalensklasser er en partisjon av M.

Et velkjent eksempel på ekvivalensklasser kan en finne i mengden av rasjonale tall Q. Brøkene 3/4 og 9/12 er ikke identiske, men er likevel like. En relasjon i Q kan defineres som at «to rasjonale tall a/b og c/d er like dersom ad = bc». Relasjonen definerer en samling av ekvivalensklasser av brøker. Brøkene 3/4 og 9/12 er ekvivalente.