Laplace-operator

Laplace-operator er en differensiell vektor-operator i matematikk, definert som divergensen til gradienten til en funksjon i et euklidsk rom. Laplace-operatoren anvendt på en funksjon $f$ skrives som regel som $\nabla \cdot \nabla f$, $\nabla ^{2}f$ eller $\Delta f$, der $\nabla$ er nabla-operatoren.

Definisjon

Laplace-operatoren er en andreordens differensialoperator som i kartesiske koordinater er gitt ved:

$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f.$

Merk at $f$ må være to ganger deriverbar og at $\nabla$ er definert ved:

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).$

Forskjellige koordinatsystem

Hvordan Laplace operatoren uttrykkes, avhenger av koordinatsystemet.

To dimensjoner

I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}} {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$

der $x$ og $y$ er standard kartesiske koordinater i $xy$-planet.

I et polarkoordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

${\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right) {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}} {\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}} {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}.\end{aligned}}$

der $r$ er avstand fra origo og $\theta$ er vinkel i forhold til det man vil kalle $x$-aksen i et kartesisk koordinatsystem.

Tre dimensjoner

I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}} {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}} {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$

der $x$, $y$ og $z$ er standard kartesiske koordinater i $xyz$-rommet.

I sylinderkoordinater er Laplace operatoren gitt ved

$\Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right) {\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}} {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$

der $r$ er avstand fra origo til projeksjonen i $xy$-planet, $\theta$ er vinkel i forhold til det man vil kalle $x$-aksen i et kartesisk koordinatsystem, og $z$ er høyden.

I kulekoordinater er Laplace operatoren gitt ved

$\nabla ^{2}\Phi ={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \Phi \over \partial r}\right) {1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta }\right) {1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}.$

der $r$ er avstand fra origo og $(\theta ,\phi )$ angir vinkelen.

Se også

• Gradient
• Divergens
• Curl