Roterande referansesystem

Eit roterande referansesystem er eit koordinatsystem som roterer relativt til eit tregleikssystem. Eit daglegdags døme på eit roterande referansesystem er overflata på Jorda.

Fiktive krefter

Alle ikkje-tregleikssystem innehar fiktive krefter. Roterande referansesystem er karakterisert av tre fiktive krefter:

• sentrifugalkrafta
• corioliskrafta

og for ikkje-uniforme roterande referansesystem

• eulerkrafta.

Forskarar på eit slikt roterande referansesystem kan måle farten og retninga til rotasjonen sin ved å måle desse fiktive kreftene. T.d kunne Léon Foucault vise corioliskrafta som kjem av jordrotasjonen ved å bruke Foucaultpendelen. Viss Jorda plutseleg byrja å rotere tusen gangar raskare (slik at kvar dag berre var om lag 86 sekund lang), ville folk lette ha merka dei fiktive kreftene som dreg i dei, akkurat som på ein spinnande karusell.

Forhold mellom posisjonar i to referansesystem

For å utleie desse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere likningane mellom koordinatane $\left(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }\right)$ i det roterande referansesystemet og koordinatane $\left(x,y,z\right)$ i eit tregleikssystem med same opphav. Viss rotasjonen er om $z$-aksen med vinkelfarten $\omega$ og dei to referansesystema samsvarar ved tida $t=0$, så kan transformasjonen frå dei roterande koordinatane til tregleikskoordinatane skrivast:

$x=x^{\prime }\ \cos \omega t y^{\prime }\ \sin \omega t$

$y=y^{\prime }\ \cos \omega t-x^{\prime }\ \sin \omega t$

og den reverse transformasjonen er

$x^{\prime }=x\ \cos \left(-\omega t\right)-y\ \sin \left(-\omega t\right)$

$y^{\prime }=y\ \cos \left(-\omega t\right) x\ \sin \left(-\omega t\right)$

Dette resultatet får ein ved å bruke ei roasjonsmatrise.

Generell utleiing i eit roterande referansesystem

Visst vi har einingsvektorane $i,j,k$ til å representere dei tredimensjonale vektorane, kan vi la desse rotere fordi dei vil bli verande normalisert. Viss vi lèt dei rotere med farten $\omega$ så vert kvar einingsvektor styrt av likninga:

${\frac {dl}{dt}}=\omega \times l$,

der $l=\{i,j,k\}$. Så viss vi då har ein funksjon , $f(t)=f_{x}(t)i f_{y}(t)j f_{z}(t)k$ og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

${\frac {df}{dt}}={\frac {df_{x}}{dt}}i {\frac {di}{dt}}f_{x} {\frac {df_{y}}{dt}}j {\frac {dj}{dt}}f_{y} {\frac {df_{z}}{dt}}k {\frac {dk}{dt}}f_{z}$

${\frac {df}{dt}}={\frac {df_{x}}{dt}}i {\frac {df_{y}}{dt}}j {\frac {df_{z}}{dt}}k [\omega \times (f_{x}i f_{y}j f_{z}k)]$

${\frac {\delta f}{\delta t}} \omega \times f(t)$

Der ${\frac {\delta }{\delta t}}$ er endringsraten med omsyn på det roterande koordinatsystemet. Det vil sei at viss $f(t)$ roterer med same fart som einingsvektorane ($\omega$) så er ${\frac {\delta f}{\delta t}}=0$.

Forhold mellom snøggleik i dei to referansesystema

Snøggleiken til ein lekam er den tidsderiverte av posisjonen til lekamen eller

$\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$

Den tidsderiverte til posisjonen i eit roterande referansesystem har to komponentar, ein frå den tidsderiverte i tregleikssystemet, og ein anna frå sin eigen rotasjon. Forholdet mellom desse har ein i likninga

$\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {tregleik} }=\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {roterande} } {\boldsymbol {\omega }}\times$

der vektoren ${\boldsymbol {\omega }}$ peikar i same retning som rotasjonsaksen med same storleik som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom snøggleiken i dei to referansesystema:

$\mathbf {v} _{\mathrm {tregleik} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {tregleik} }=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {roterande} } {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {roterande} } {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Prov av likninga

La oss tenkje oss ein vektor a_tregleik i tregleikssystemet, og a_roterande er den same vektoren i det roterande referansesystemet. P_t er posisjonen til vektoren a ved tida t i tregleikssystemet, Q ere it punkt som har same startposisjon som P₀ (Q₀ = P₀) og roterer i forhold til tregleikssystemet som om det var stasjonært på det roterande systemet. .

Etter ei svært kort tid δ t, har vi at vektoren Q₀ Q_{δ t} er

${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {tregleik} }\cdot \delta t$

ved å bruke nokre enkle vektoroperasjonar har vi

${\overline {P_{0}P_{\delta t}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {tregleik} }={\overline {P_{0}Q_{\delta t}}} {\overline {Q_{\delta t}P_{\delta t}}}={\overline {Q_{0}Q_{\delta t}}} {\overline {Q_{\delta t}P_{\delta t}}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {tregleik} }\cdot \delta t \mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }$

deriverar vi på tid får vi

$\mathbf {\dot {a}} _{\mathrm {tregleik} }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {tregleik} } \mathbf {\dot {a}} _{\mathrm {rotasjon} }$

og ser at

${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {tregleik} }$

Forhold mellom akselerasjon i dei to systema

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av snøggleik

$\mathbf {a} _{\mathrm {tregleik} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {tregleik} }=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{\mathrm {tregleik} }=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {rotasjon} } {\boldsymbol {\omega }}\times \right]\left[\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {rotasjon} } {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right]$

Ved å utføre deriveringa og omarrangere nokre av ledda får ein akselerasjonen i det roterande referansesystemet

$\mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }=\mathbf {a} _{\mathrm {tregleik} }-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {rotasjon} }-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r}$

der $\mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {rotasjon} }$ er den tilsynelatande akselerasjonen i det roterande referansesystemet.

Dei tre ledda på høgre side kjem av dei fiktive kreftene i eit roterande referansesystem. Ved å bruke Newton si andre rørslelov $F=ma$, får vi

• corioliskrafta

$\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {rotasjon} }$

• sentrifugalkrafta

$\mathbf {F} _{\mathrm {sentrifugal} }=-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )$

• eulerkrafta

$\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r}$

der $m$ er massen til lekamen desse tre fiktive kreftene virkar på.

Tregleiksakslerasjonen $\mathbf {a} _{\mathrm {tregleik} }$ kan ein finne ut frå den totale fysiske krafta $\mathbf {F} _{\mathrm {tot} }$ (t.d. den totale krafta frå fysiske vekselverknadar som elektromagnetisme) og bruke Newton si andre rørslelov

$\mathbf {F} _{\mathrm {tot} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {inertial} }$