Naar inhoud springen

Wortelgemiddelde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of höldergemiddelde, genoemd naar Otto Hölder, is een centrummaat. Het wortelgemiddelde met macht van een rijtje van getallen wordt als volgt berekend: verhef alle getallen tot de macht , bepaal het rekenkundige gemiddelde van deze -de machten en neem uit dit gemiddelde de p-de-machtswortel. Behalve het rekenkundige gemiddelde () zijn ook het meetkundig gemiddelde (), het kwadratische gemiddelde () en het harmonische gemiddelde () wortelgemiddelden.

Het rijtje getallen waar het om gaat is op te vatten als een vector. In een coördinatenruimte in dimensies, dat kan een reële of een complexe coördinatenruimte zijn, bepaalt het wortelgemiddelde van de absolute waarden van de coördinaten van deze vector voor een norm voor die vector. Lp-ruimten zijn zo gedefinieerd.

Voor het reële getal is het -de-machtswortelgemiddelde van de getallen gedefinieerd. De getallen mogen niet negatief zijn.

.

Hoewel het voorschrift van sommige gemiddelden niet meteen hetzelfde is, worden zij toch als wortelgemiddelde gerekend. Deze wortelgemiddelden zijn in de limiet voor en gedefinieerd:

, het meetkundige gemiddelde
, het minimum
, het maximum
  • geeft het rekenkundige gemiddelde:
  • geeft het kwadratische gemiddelde:
  • geeft het harmonische gemiddelde:

Eigenschappen

[bewerken | brontekst bewerken]
  • Het wortelgemiddelde is homogeen, dat wil zeggen dat voor geldt:
  • De berekening van een wortelgemiddelde kan in blokken van gelijke grootte worden opgesplitst:
  • Algemeen geldt voor :
  • Het wortelgemiddelde van dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:
  • Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.

Bewijzen voor de limietgevallen

[bewerken | brontekst bewerken]
W0 

Het wortelgemiddelde is de limiet van voor . Immers:

Voor de exponent geldt volgens de regel van l'Hôpital:

Omdat de exponentiële functie een continue functie is, volgt:

W−∞ 

Het wortelgemiddelde is de limiet van voor .

Dit is een direct gevolg van de betrekking:

W 

Het wortelgemiddelde is de limiet van voor . Immers:

Laat , dan is: