Kvirkvelia verruilde Zenit Sint-Petersburg in 2010 voor Roebin Kazan. Daarvoor debuteerde hij op 22 juli 2011 in de Premjer-Liga, tegen Terek Grozny.[3] Een maand later maakte hij zijn eerste competitietreffer, tegen Amkar Perm.[4] Kvirkvelia speelde in zijn debuutseizoen acht competitieduels, waarop Roebin Kazan hem tijdens het seizoen 2011/12 verhuurde aan Nizjnekamsk.
Kvirkvelia debuteerde op 5 maart 2014 in het Georgisch voetbalelftal, in een oefeninterland tegen Liechtenstein. Hij kwam na 77 minuten als invaller in het veld.[5] Op 29 mei 2014 volgde zijn eerste basisplaats, in een oefeninterland tegen Saoedi-Arabië.[6]