Sierpiński-kromme

Sierpiński-krommen zijn een recursief gedefinieerde rij van continue fractalen in het gesloten vlak. De basisvorm ervan is een vierkant, het eenheidsvierkant. Sierpiński-krommen zijn als eerste door de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński geconstrueerd. Een Sierpiński-kromme $S_{n}$ heeft een oneindige lengte, maar toch een eindige oppervlakte. In de limiet $n\rightarrow \infty$ vullen Sierpiński-krommen het eenheidsvierkant volledig. Hun limietkromme, de Sierpinski-kromme, is daarom een voorbeeld van een ruimtevullende kromme. Omdat de Sierpiński-kromme ruimtevullend is, is de hausdorff-dimensie ervan in de limiet $n\rightarrow \infty$ gelijk aan 2. De lengte $l_{n}$ van $S_{n}$ is

$l_{n}={2 \over 3}(1 {\sqrt {2\ }})2^{n}-{1 \over 3}(2-{\sqrt {2\ }}){1 \over 2^{n}}$

De euclidische lengte van $S_{n}$ neemt dus exponentieel met $n$ toe.

De limiet voor $n\rightarrow \infty$ van het door $S_{n}$ ingesloten gebied is gelijk is aan $5/12$ van het eenheidsvierkant, in de euclidische metriek.

Sierpiński-kromme van de eerste orde

van de orden 1 en 2

van de orden 1 tot 3