Schauderbasis

Een schauderbasis is een begrip uit de functionaalanalyse, genoemd naar de Poolse wiskundige Juliusz Schauder. Een schauderbasis van een banachruimte is een (mogelijk oneindige) rij vectoren zo dat iedere vector van die banachruimte een unieke norm-convergente reeksontwikkeling heeft ten opzichte van die rij, dus zo dat elke vector eenduidig een (mogelijk oneindige) lineaire combinatie is van de basisvectoren..

Voor eindigdimensionale ruimten valt dit begrip samen met het gewone begrip basis van een vectorruimte. Ook iedere oneindig-dimensionale separabele hilbertruimte heeft een schauderbasis, die bovendien orthonormaal kan gekozen worden.

Een banachruimte met een schauderbasis is noodzakelijk separabel, maar niet iedere separabele banachruimte heeft een schauderbasis.

Definitie

Laat V een banachruimte over het lichaam (Ned) / veld (Be) F, de reële of complexe getallen, zijn. Een schauderbasis is een rij {b_n} van elementen van V zo dat er voor elke v ∈ V precies één rij {α_n} van scalairen in F is zo dat

$v=\sum _{n}\alpha _{n}b_{n}$

Voorbeeld van een schauderbasis

Beschouw de L²-ruimte $L^{2}([0,1];\mathbb {C} )$ der complexwaardige, kwadratisch lebesgue-integreerbare functies op het eenheidsinterval (eigenlijk: equivalentieklassen van dergelijke functies die onderling bijna overal identiek zijn). Definieer de oneindige rij f₀, f₁, f₂,...,f_n,... als volgt.

f₀ is de constante 1.

f₁ is −1 op het interval [0,1/2] en 1 op het interval [1/2,1]. De dubbelzinnigheid in het punt 1/2 is niet van belang, omdat dit punt een nulverzameling vormt.

f₂ is −1 op de intervallen [0,1/4] en [1/2,3/4] en 1 op de intervallen [1/4,1/2] en [3/4,1].

f_n(x) is −1 als 2ⁿ·x afgerond naar beneden even is, en 1 indien oneven.

Deze functies zijn onderling lineair onafhankelijk, ze zijn zelfs orthogonaal ten opzichte van het scalair product van L²:

$i\neq j\implies \int _{0}^{1}f_{i}(x){\overline {f_{j}(x)}}\mathrm {d} x=0$

Bovendien zijn ze genormaliseerd, dat wil zeggen hun kwadratische lengte (als vector) is 1:

$\int _{0}^{1}|f_{i}(x)|^{2}dx=1$

We tonen nu aan dat deze rij vectoren een schauderbasis vormt. Definieer de coëfficiënten (c_i)_i van een willekeurige vector g als volgt:

$c_{i}=\int _{0}^{1}g(x){\overline {f_{i}(x)}}\mathrm {d} x,\ i=0,1,\ldots ,n,\ldots$

Als g de indicatorfunctie van een interval is, dan ziet men gemakkelijk dat

$L^{2}{\hbox{-}}\lim _{n\to \infty }\left(g-\sum _{i=0}^{n}c_{i}f_{i}\right)=0$

Hieruit volgt dezelfde conclusie als g een eindige lineaire combinatie van dergelijke indicatorfuncties is. Maar dergelijke eindige lineaire combinaties vormen een dichte deelverzameling van L². Dus iedere willekeurige kwadratisch integreerbare g is gelijk aan de reekssom

$g=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}g(x){\overline {f_{i}(x)}}\mathrm {d} x\right)f_{i}$

Uniciteit volgt uit de onderlinge orthogonaliteit van de vectoren f_i. Het verschil van twee reeksen

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{i}f_{i}-\sum _{n=0}^{\infty }b_{i}f_{i}$

heeft als normkwadraat

$\sum _{n=0}^{\infty }|a_{i}-b_{i}|^{2}$

en kan dus slechts nul zijn als ieder verschil a_i−b_i afzonderlijk nul is.