Naar inhoud springen

Fisherinformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de wiskundige statistiek is de fisherinformatie van een familie kansdichtheden een grootheid die informatie geeft over de kwaliteit van parameterschattingen. De grootheid is genoemd naar de Britse statisticus Ronald Aylmer Fisher.

Eenparametrisch model

[bewerken | brontekst bewerken]

Zij een familie kansdichtheden, geparametriseerd door , met een open verzameling.

De fisherinformatie is gedefinieerd als de verwachtingswaarde van het kwadraat van de score voor de uitkomst :

en

,

waarin de kansdichtheid heeft.

Onder bepaalde regulariteitsvoorwaarden is de verwachtingswaarde van de score gelijk aan 0, zodat de fisherinformatie dan ook gelijk is aan de variantie van de score:

Meerdere parameters

[bewerken | brontekst bewerken]

Als de parameter meerdimensionaal is: , is de fisherinformatiematrix de generalisatie van de fisherinformatie. Deze is gedefinieerd als de symmetrische matrix met als elementen:

Discrete verdelingen

[bewerken | brontekst bewerken]

In het geval van een discrete verdeling betreft het dichtheden ten opzichte van de telmaat, dus kansfuncties.

Binomiale verdeling

Voor de binomiale verdeling met parameters en succeskans geldt:

Er geldt:

,

zodat de fisherinformatie is:

Poissonverdeling

Voor de poissonverdeling met parameter geldt:

Ook is weer:

De fisherinformatie is dus:

Continue verdelingen

[bewerken | brontekst bewerken]
Exponentiële verdeling

Voor de exponentiële verdeling met parameter geldt:

Er geldt weer:

De fisherinformatie is dus:

Normale verdeling

Voor de normale verdeling met parameters 0 en geldt:

Er geldt weer:

De fisherinformatie is dus:

Vat men als parameter op, dan geldt:

Ook dan is:

zodat

Als de verwachtingswaarde gelijk is aan geldt voor deze parameter:

Weer is

en is:

Voor het parameterpaar geldt:

,

zodat de fisherinformatiematrix gelijk is aan: