Karakter (wiskunde)

In de groepsrepresentatie, een deelgebied van de wiskunde, is een karakter (meestal) een speciaal type functie van een groep naar een lichaam/veld, meestal het lichaam van de complexe getallen. Afhankelijk van de soort groep waarop de representatie betrekking heeft, zijn er verschillende betekenissen.

Willekeurige groep

Voor een groep $G$ is een karakter $\chi$ een groepshomomorfisme van de groep $G$ naar de multiplicatieve groep $\mathbb {C} ^{\times }$ van de complexe getallen.

Topologische groep

Als $G$ een topologische groep is, moet het karakter continu zijn.

Eigenschappen

• De verzameling karakters van een groep $G$ is een abelse groep met de bewerking:

$(\chi _{1}*\chi _{2})(g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)$

• Een karakter heet unitair als $|\chi (g)|=1$, dus als het beeld van $G$ op de eenheidscirkel ligt.
• Een karakter is dan en slechts dan unitair, als

$\chi (g^{-1})={\overline {\chi (g)}}$

• Voor een eindige groep zijn alle karakters unitair, immers, als $n$ de orde van de groep is, geldt voor alle $g$:

$(\chi (g))^{n}=\chi (g^{n})=\chi (e)=1$

• De karakters van een groep $G$ komen overeen met de eendimensionale complexe representaties van $G$. De unitaire karakters komen overeen met de unitaire eendimensionale representaties.
• Een unitair karakter heet kwadratisch als de enige beelden –1 en 1 zijn. Is 1 het enige beeld dan heet het karakter triviaal.
• Voor een karakter $\chi$ van een eindige groep geldt:

$\chi$ triviaal, dan $\sum _{g\in G}\chi (g)=|G|$.

$\chi$ niet triviaal, dan $\sum _{g\in G}\chi (g)=0$.

Dirichlet-karakter

Een dirichlet-karakter is een karakter op de multiplicatieve groep $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$. Dirichlet-karakters worden gebruikt om dirichlet-L-functies te definiëren, die meromorfe functies met een verscheidenheid aan interessante analytische eigenschappen zijn. Dirichlet-karakters zijn genoemd naar Johann Dirichlet.

Algebraïsche groep

Voor een algebraïsche groep $G$ is een karakter $\chi$ een homomorfisme $\chi \colon G\to G_{m}$ van $G$ naar de multiplicatieve groep $G_{m}$.

Karakter van een representatie

Zie Karakter (groepsrepresentatie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een groep $G$ op de eindigdimensionale vectorruimte $V$ over het lichaam/veld $K$ is het karakter van een representatie $\rho \colon G\to GL(V)$ van $G$ de functie

$\chi _{\rho }\colon G\to K$

die aan het element $g$ het spoor van $\rho (g)$ toevoegt:

$\chi _{\rho }(g)=\operatorname {sp} (\rho (g))$