Bij zijn wereldbekerdebuut, in januari 2004 in Mont Tremblant, scoorde Koesjnir direct zijn eerste wereldbekerpunten, in december 2005 behaalde hij in Changchun zijn eerste toptienklassering. In januari 2007 stond de Wit-Rus in Deer Valley voor de eerste maal in zijn carrière op het podium van een wereldbekerwedstrijd, zijn eerste wereldbekerzege boekte hij in december 2008 in Inawashiro. In het seizoen 2009/2010 veroverde Koesjnir zowel de algemene wereldbeker als de wereldbeker op het onderdeel aerials.
Koesjnir nam viermaal deel aan de Olympische Winterspelen. Tijdens de Olympische Winterspelen van 2006 in Turijn eindigde hij als achtste op het onderdeel aerials, vier jaar later eindigde hij op de vijftiende plaats. In 2014 werd hij olympisch kampioen op het onderdeel aerials. In 2018 eindigde hij op de dertiende plaats.