ദ്വിപദപ്രമേയം

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

https://ml.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, തുകകളുടെ കൃതിയുടെ വികസിത രൂപം തരുന്ന ഒരു പ്രധാനപ്പെട്ട സമവാക്യമാണ് ദ്വിപദപ്രമേയം. ഇതിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപം താഴെപറയുന്നതാണ്.

$(x y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)$

x, y എന്നിവ രേഖീയ സംഖ്യയോ മിശ്ര സംഖ്യയോ n ഋണേതര പൂർണ സംഖ്യയുമായിരിക്കണം. ഈ സമവാക്യത്തിലെ ദ്വിവർഗ്ഗ ഗുണാങ്കം ഫാക്ടോറിയൽ n!-നെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കാം.

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.$

പാസ്കൽ ത്രികോണം ഉപയോഗിച്ചും ഈ ഗുണാങ്കം കണ്ടെത്താവുന്നതാണ്‌.

2 ≤ n ≤ 5 ആയ ഉദാഹരണങ്ങൾ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു:

$(x y)^{2}=x^{2} 2xy y^{2}\,$

$(x y)^{3}=x^{3} 3x^{2}y 3xy^{2} y^{3}\,$

$(x y)^{4}=x^{4} 4x^{3}y 6x^{2}y^{2} 4xy^{3} y^{4}\,$

$(x y)^{5}=x^{5} 5x^{4}y 10x^{3}y^{2} 10x^{2}y^{3} 5xy^{4} y^{5}.\,$