ജന്മദിനപ്രശ്നം

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

https://ml.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

സംഭാവ്യതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് യാദൃച്ഛിക രൂപേണ തിരഞ്ഞെടുത്ത ആളുകളുടെ ഗണത്തിൽ നിന്നുള്ള ഏതാനും ജോഡി ആൾക്കാർക്ക് ഒരേ ജന്മദിനങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്നതിനെയാണ് സാംഭാവ്യത സിദ്ധാന്തത്തിൽ (probability theory) ജന്മദിന പ്രശ്നം (birthday problem) അല്ലെങ്കിൽ ജന്മദിന വിരോധാഭാസം (birthday paradox) എന്നു പറയുന്നത്. കുറഞ്ഞത് 23 പേരെങ്കിലും അടങ്ങിയ ആൾക്കാരുടെ ഗണത്തിലെ കുറഞ്ഞതു ഒരു ജോഡി ആൾക്കാരുടെയെങ്കിലും ജന്മദിനങ്ങൾ ഒന്നായി വരാനുള്ള സാധ്യത 50 ശതമാനമാണ്. കുറഞ്ഞത് 57 പേരെങ്കിലും അടങ്ങിയ ഗണത്തിൽ ഈ സാധ്യത 99 ശതമാനത്തിലും കൂടുതലായി ഉയരുന്നു. ആൾക്കാരുടെ എണ്ണം 366 ആകുന്നതോടെ ഇത് 100 ശതമാനമായി മാറുന്നു (പ്രാവിൻപൊത്ത് തത്ത്വം പ്രകാരമാണിത്, അധിവർഷങ്ങളെ ഇവിടെ അവഗണിച്ചിരിക്കുന്നു). ഈ പ്രശ്നത്തിനു പിന്നിലെ ഗണിതം ഗൂഢശാസ്ത്ര ആക്രമണങ്ങളിൽ (cryptographic attack) പ്രസിദ്ധിയാർജ്ജിച്ച ജന്മദിനാക്രമണത്തിലേക്ക് (birthday attack) നയിക്കുന്നു.

വ്യത്യസ്ത എണ്ണം ആളുകളുടെ ഗണത്തിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് ഒരു ജോഡി ആളുകളുടേയെങ്കിലും ജന്മദിനം വർഷത്തിൽ ഒരേ ദിവസമാകുന്നതിന്റെ ഏകദേശ സംഭാവ്യത കാണിക്കുന്ന ഗ്രാഫ്.

പ്രശ്നത്തിന്റെ വിശകലനം

ജന്മദിന പ്രശ്നത്തിൽ 23 ആൾക്കാരോട് അവരുടെ ജന്മദിനം മറ്റുവല്ലവരുമായി പങ്കിടുന്നുണ്ടോ എന്നന്വേഷിക്കുകയാണ് ചെയ്യുന്നത് അല്ലാതെ ഒരാളുടെ ജന്മദിനം ഒറ്റയ്ക്ക് പരിഗണിക്കുകയല്ല.

23 ആൾക്കാരുടെ ഗണത്തിൽ ആദ്യത്തെ ആളുടെ ജന്മദിനം ഗണത്തിലെ മറ്റ് ആൾക്കാരുടെ ജന്മദിനങ്ങളുമായി ചേരുന്നുണ്ടൊ എന്നു ഒത്തുനോക്കുന്നത് 22 സാധ്യതകൾ നൽകുന്നു, ഇങ്ങനെ ഗണത്തിലെ ഒരോ അംഗത്തിനേയും മറ്റ് എല്ലാ അംഗങ്ങളോടും ഒത്തുനോക്കുന്നത് 253 സാധ്യതകൾ നൽകുന്നുണ്ട്: 23 പേരടങ്ങിയ കൂട്ടത്തിൽ 23×22/2 = 253 ജോഡികളുണ്ടാകും. എല്ലാ ജന്മദിനങ്ങൾക്കും ഒരേ സാധ്യത കൽപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, മൊത്തം ഗണത്തിൽ നിന്നും യാദൃച്ഛികമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന രണ്ട് പേരുടെ ജന്മദിനങ്ങൾ ഒന്നാവാകാനുള്ള സാധ്യത 1/365 ആണ് (ഇവിടെ അധിവർഷത്തിൽ വരുന്ന ഫെബ്രുവരി 29 നെ അവഗണിക്കുന്നു). സാധാരണരീതിയിൽ വ്യത്യസ്തമായി തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്ന 253 ജോഡികളുമായി 23 അംഗങ്ങളടങ്ങിയ ഗണത്തിലെ ജോഡികൾക്ക് സ്ഥിതിഗണിതപരമായി തുല്യമല്ലെങ്കിലും ഗണത്തിലെ ഒരോ അംഗങ്ങളെ പരിഗണിക്കുന്നതിനേക്കാൾ സാധ്യമാകുന്ന ജോഡികളുടെ എണ്ണത്തെയാണ് ഇവിടെ പരിഗണിക്കുന്നതെന്ന് മനസ്സിലാകുമ്പോൾ ജന്മദിന പ്രശ്നം അത്ര ആശ്ചര്യമുളവാകാത്തതായി മാറുന്നു.

സംഭാവ്യതയുടെ ഗണനം

ഒരു മുറിയിലെ ഒരു കൂട്ടം ആളുകളിലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് ഒരു ജോഡി പേർക്കെങ്കിലും വർഷത്തിൽ ഒരേ ജന്മദിനം വരുന്നതിന്റെ ഏകദേശ സംഭാവ്യത കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനായി സാധ്യതകളുടെ വിതരണത്തിലെ ചില കാര്യങ്ങൾ ഇവിടെ അവഗണിക്കുകയാണ്, അധിവർഷങ്ങൾ, ഇരട്ടകൾ, കാലക്രമത്തിൽ വരുന്ന ജനനനിരക്കിന്റെ വിതരണത്തിലെ വ്യതിയാനങ്ങൾ തുടങ്ങിയവ, കൂടാതെ വർഷത്തിലെ 365 ദിവസവും ജന്മദിവസം വരാൻ ഒരേ സാധ്യതയാണെന്ന് അനുമാനിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. വർഷത്തിലെ എല്ല ദിവസങ്ങളും ജനനദിനങ്ങളായി വരാനുള്ള സാധ്യത ഒരേ രീതിയിലല്ലാത്തതിനാല് യഥാർത്ഥത്തിൽ ജനനദിവസങ്ങളുടെ വിതരണം ഏകതാനമല്ല(not uniform).

n ജന്മദിനങ്ങളും വ്യത്യസ്തങ്ങളാണെന്നുള്ള സംഭാവ്യത p(n) കണക്കുകൂട്ടാൻ എളുപ്പമാണ്. n > 365 ആണെങ്കിൽ, പ്രാവിൻപൊത്ത് തത്ത്വമനുസരിച്ച് സംഭാവ്യത 0 ആണ്. മറ്റൊരുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ n ≤ 365 ആണെങ്കിൽ, സംഭാവ്യത:

${\begin{aligned}{\bar {p}}(n)&=1\times \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\times \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\times \cdots \times \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)\\&={365\times 364\times \cdots \times (365-n 1) \over 365^{n}}\\&={365! \over 365^{n}(365-n)!}\end{aligned}}$

"!" എന്നത് ഫാക്ടോറിയൽ സംകാരമാണ്.

ഒരാൾക്കും മറ്റൊരാളുടെ അതേ ജനനദിവസം വരാൻ പാടില്ല എന്ന വ്യവസ്ഥയോടെ മുകളിലുള്ള സമവാക്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, രണ്ടാമത്തെ ആൾക്ക് ഒന്നാമത്തെ ആളുടെ ജനനദിവസം പാടില്ല (364/365), മൂന്നാമത്തെ ആൾക്ക് ആദ്യ രണ്ടുപേരുടേയും ജനനദിവസം പാടില്ല (363/365), പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ n ആമത്തെ ആളുടെ ജനനദിവസം മുൻപുള്ള n-1 ആളുടെ ജനനദിവസങ്ങളുമായി തുല്യമാവാൻ പാടില്ല.

കുറഞ്ഞത് രണ്ട് പേരുടേയെങ്കിലും ജന്മദിനങ്ങൾ ഒന്നായി വരുന്ന സംഭവം എല്ലാ ജന്മദിനങ്ങളും വ്യത്യസ്തമായിവരുന്ന സംഭവത്തിന്റെ വിപരീതമാണ്. അതുകൊണ്ട് അതിന്റെ സംഭാവ്യത p(n) എന്നാൽ:

$p(n)=1-{\bar {p}}(n).\,$

n കൂട്ടം ആളുകളിൽ രണ്ടുപേരുടെ പോലും ജന്മദിനങ്ങൾ ഒന്നായിവരുന്നില്ല എന്നതിന്റെ ഏകദേശ സംഭാവ്യത.

ഈ സംഭാവ്യത n = 23 എന്ന വിലയ്ക്കുതന്നെ 1/2 കടക്കുന്നു (ആ അവസരത്തിലെ ഏകദേശം വില 50.7%). താഴെ തന്നിരിക്കുന്ന പട്ടിക n ന്റെ ചില വിലകൾക്കുള്ള സംഭാവ്യതകൾ നൽകുന്നു (മുൻപ് വിവരിച്ചത് പോലെതന്നെ ഇവിടെ അധിവർഷങ്ങളെ അവഗണിക്കുന്നു):

n	p(n)
10	11.7%
20	41.1%
23	50.7%
30	70.6%
50	97.0%
57	99.0%
100	99.99997%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	(100 − (6×10−80))%
350	(100 − (3×10−129))%
366	100%