Остаток (математика)
Во математиката резултатот од делењето е количник и остаток.[1][2] Остатокот е нула ако количникот на двата броја на делењето е точен, во спротивно овој количник е приближен. Делењето се нарекува Евклидово кога неговиот деленик, делител и количник се природни броеви. Во Евклидовото делење, производот на количникот и делителот плус остатокот е еднаков на деленикот, а остатокот е природен број строго помал од делителот. Цел број е повеќекратник на друг ненулов цел број ако и само ако, во Евклидовото делење, количникот на апсолутната вредност на првиот со апсолутната вредност на вториот е точен, со други зборови, ако и само ако остатокот од ова Евклидово делење е нула. Во компјутерската наука, таков остаток се добива од операторот на модуло.
Природни броеви
[уреди | уреди извор]Ако a и d се природни броеви, при што d е различен од нула, се докажува дека постојат два единствени цели броеви q и r, така што a = qd r и 0 ≤ r < d . Бројот q се нарекува количник, додека r е остаток.
Евклидовото делење дава доказ за овој резултат, како и метод за негово добивање.
Примери
[уреди | уреди извор]- Со делење на 13 со 10, добиваме 1 како количник и 3 како остаток, бидејќи 13 = 1×10 3.
- Со делење на 26 со 4, добиваме 6 како количник и 2 како остаток, бидејќи 26 = 6×4 2.
- Со делење на 56 со 7, добиваме 8 како количник и 0 како остаток, бидејќи 56 = 7×8 0.
Цели броеви
[уреди | уреди извор]Ако a и d се цели броеви, при што d е различен од нула, тогаш остатокот r е цел број таков што a = qd r, q е цел број и 0 ≤ | r | < |d|.
Оваа дефиниција овозможува да се формираат два различни остатоци за исто делење. На пример, делењето на −42 со −5 се изразува со:
- −42 = 9×(−5) 3
или
- −42 = 8×(−5) (−2).
Остатокот е 3 или −2.
Оваа двојност не е многу битна во пракса. Тоа е затоа што со одземање 5 од позитивниот остаток, d, се добива негативниот остаток. Ова е генерално точно. Делејќи со d, ако позитивниот остаток е именуван r1, а негативниот остаток е именуван r2, тогаш
- r1 = r2 d .
Реални броеви
[уреди | уреди извор]Кога a и d се реални броеви, при што d е различен од нула, d не може да го дели a без остаток, ако количникот е друг реален број. Меѓутоа, ако количникот е цел број, концептот остаток сè уште е валиден. Докажано е дека постои единствен цел број q и реален остаток r таков што a = qd r со 0 ≤ р < |d|. Како и во случајот со делењето на цели броеви, остатокот може да биде негативен, односно -|d| < р ≤ 0.
Обопштувањето на поимот остаток за реални броеви како што е опишано во претходниот пасус нема теоретско значење во математиката. Сепак, неколку програмски јазици го нудат тоа.
За неравенствата
[уреди | уреди извор]Во дадените дефиниции, постои неравенка 0 ≤ р < | г | или -| г | < р ≤ 0. Неопходно е да се осигура дека остатокот е единствен. Изборот на таква неравенка е произволен: кој било услов од обликот x < р ≤ x |d| (или x ≤ р < x |d|), каде што x е константна, гарантира дека остатокот е единствен.
