Џинсова теорема

Во астрофизиката и статистичката механика, Џинсовата теорема, именувана по математичарот, физичарот и астроном Џејмс Џинс, вели дека секое решение во стабилна состојба на без-судирната Болцманова равенка зависи од координатите на фазниот простор само преку интеграли на движење во дадениот потенцијал, и обратно, секоја функција на интегралите е решение на стабилна состојба.

Џинсовата теорема најчесто се дискутира во контекст на потенцијали кои се одликуваат со три, глобални интеграли. Во такви потенцијали, сите орбити се правилни, т.е. нехаотични; Кеплеровиот потенцијал е еден пример. Во генеричките потенцијали, некои орбити почитуваат само еден или два интеграли и соодветното движење е хаотично. Џинсовата теорема може да се генерализира на таквите потенцијали како што следува:

Густината на фазниот простор на неподвижниот ѕвезден систем е константна во секој добро поврзан регион.

Добро поврзан регион е оној што не може да се разложи на два конечни региони така што сите траектории лежат, за сите времиња, или во едниот или во другиот. Непроменливите тори на регуларните орбити се такви региони, но исто така се и посложените делови од фазниот простор поврзани со хаотични траектории. Интеграбилноста на движењето затоа не е потребна за стабилна состојба.

Математички опис

Размислете за Болцмановата равенка без судир за функцијата на распределба $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)$

${\frac {\partial f}{\partial t}} \mathbf {v} \cdot \nabla f {\frac {1}{m}}\mathbf {F} \cdot \nabla _{v}f=0.$

Лагранжовиот пристап е употребен кон движењето на честичката во кој случај бараните равенки се

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {v}$

${\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {\mathbf {F} }{m}}.$

Нека се решенијата на овие равенки

$\mathbf {x} =\mathbf {x} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{6},t)$

$\mathbf {v} =\mathbf {v} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{6},t)$

каде $\alpha _{i}$ s се постојани на интеграција. Да претпоставиме дека од горенаведеното множество, можеме да решиме $\alpha _{i}$, односно можеме да најдеме

$\alpha _{i}=\alpha _{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t).$

Сега разгледајте произволна функција на $\alpha _{i}$ е,

$f=f(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{6}).$

Тогаш оваа функција е решение на Болцмановата равенка без судир, како што може да се потврди со замена на оваа функција во Болцмановата равенка без судир за да се најде

$\sum _{i=1}^{6}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}\left[{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial t}} \mathbf {v} \cdot \nabla \alpha _{i} {\frac {1}{m}}\mathbf {F} \cdot \nabla _{v}\alpha _{i}\right]=\sum _{i=1}^{6}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}{\frac {d\alpha _{i}}{dt}}=0.$

Ова ја докажува теоремата.

Тривијален сет на постојани за интеграција се почетното место $\mathbf {x} _{0}$ и почетните брзини $\mathbf {v} _{0}$ на честичката. Во овој случај, секоја функција

$f=f(\mathbf {x} _{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t),\mathbf {v} _{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t))$

е решение на Болцмановата равенка без судир.

Поврзано

• Џинсови равенки