Regulārs daudzstūris

Piecstūris, regulāru daudzstūru piemērs

Regulārs daudzstūris ir tāds izliekts daudzstūris, kura visi leņķi ir vienādi un visas malas ir vienādas.

Regulāru daudzstūri sauc par ievilktu riņķa līnijā, ja visas tā virsotnes atrodas uz riņķa līnijas.

Regulāru daudzstūri sauc par apvilktu ap riņķa līniju, ja visas tā malas pieskaras riņķa līnijai. Regulārā daudzstūrī ievilkta riņķa līnija pieskaras tā malām to viduspunktos.

Regulāru daudzstūru īpašības

• Jebkuram regulāram daudzstūrim var apvilkt un tajā var ievilkt riņķa līniju. Šo riņķa līniju centri sakrīt.
• Ievilktās riņķa līnijas centrs atrodas malu vidusperpendikulu krustpunktā. Apvilktās riņķa līnijas centrs atrodas bisektrišu krustpunktā.
• Regulāram n-stūrim piemīt n-tās kārtas rotācijas simetrija. Tas nozīmē, ka to pagriežot ap centru par vienu n-to daļu pilna apgrieziena, tas sakrīt pats ar sevi.
• Regulāru n-stūri var konstruēt ar cirkuli un lineālu tad un tikai tad, kad skaitļa n nepāra pirmdalītāji ir dažādi Fermā pirmskaitļi.
• Attālumu summa no jebkura punkta $P$ iekšā regulārā daudzstūrī līdz malām ir neatkarīga no $P$ atrašanās vietas (Viviani teorēmas paplašinājums)

Formulas

• $\alpha _{n}={\frac {(n-2)\times 180^{\circ }}{n}}$

• $S_{\alpha }={(n-2)\times 180^{\circ }}$

• $d={\frac {n(n-3)}{2}}$

• $S={\frac {1}{2}}\times P_{n}\times r_{n}$

• $r_{n}={\frac {a}{2}}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}$

• $S={\frac {a^{2}\cdot n}{4}}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}$

kur $n$ - daudzstūra malu skaits, $a$ - daudzstūra malas garums, $\alpha _{n}$ - katra leņķa lielums grādos, $S_{\alpha }$ - leņķu summa grādos, $d$ - diagonāļu skaits, $S$ - laukums, $P_{n}$ - daudzstūra perimetrs, $r_{n}$ - daudzstūrī ievilktās riņķa līnijas rādiuss.

Daudzstūris	Leņķa lielums	Leņķu summa	Diagonāļu skaits	Laukums (a - daudzstūra malas garums)
Trijstūris	60°	180°	0	0,43 a2
Četrstūris	90°	360°	2	a2
Piecstūris	108°	540°	5	1,72 a2
Sešstūris	120°	720°	9	2,598 a2
Septiņstūris	128,57°	900°	14	3,634 a2
Astoņstūris	135°	1080°	20	4,828 a2
Deviņstūris	140°	1260°	27	6,182 a2
Desmitstūris	144°	1440°	35	7,694 a2
11-stūris	147,27°	1620°	44	9,366 a2
12-stūris	150°	1800°	54	11,196 a2
13-stūris	152,3°	1980°	65	13,186 a2
14-stūris	154,2857°	2160°	77	15,335 a2
15-stūris	156°	2340°	90	17,642 a2
16-stūris	157,5°	2520°	104	20,109 a2
17-stūris	158,82°	2700°	119	22,735 a2
18-stūris	160°	2880°	135	25,521 a2
19-stūris	161,05°	3060°	152	28,425 a2
20-stūris	162°	3240°	170	31,569 a2
100-stūris	176,4°	17 640°	485 0	795,513 a2
1 000-stūris	179,64°	179 640°	498 500	79 577,21 a2
10 000-stūris	179,964°	1 799 640°	49 985 000	7 957 746,893 a2

Ārējās saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Regulārs daudzstūris.

• Encyclopædia Britannica raksts (angliski)