Theorème vum Euklid

Den Theorème vum Euklid ass e Resultat aus der elementarer Zuelentheorie, dat seet, datt et onendlech vill Primzuele gëtt.

Am Laf vun der Geschicht sinn eng ganz Parti verschidde Beweiser fir déi Ausso fonnt ginn. Den eelste Beweis ass als 20. Propositioun am néngte Buch vun den Elementer vum Euklid vun Alexandria iwwerliwwert. Weider Beweiser goufe vu Leit wéi dem Christian Goldbach, dem Leonhard Euler, asw. fonnt. Dem Euklid säi Beweis funktionéiert sou:

Wa mer unhuelen, datt et nëmmen endlech vill Primzuele gëtt, a mer nenne se $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$, da kënne mer déi natierlech Zuel $n=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n} 1$ definéieren. No dem Lemma vum Euklid gëtt et eng Primzuel $q$, déi $n$ deelt. Da ka $q$ awer net zu de Primzuele $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ gehéieren, well soss $q$ gläichzäiteg en Deeler vun $n$ (no Konstruktioun vun $n$) an $n-1$ (no der Definitioun vum Deeler) wier. Also misst $q$ och d'Differenz vun deenen zwou Zuelen deelen, ma déi ass $n-(n-1)=1$ an dat ass onméiglech. Aus dësem Widdersproch geet ervir, datt een nimools an engem endlechen Ensembel alleguer d'Primzuele kann zesummefaassen, an et der deemno onendlech vill muss ginn.