Functiones hyperbolicae

Functiones hyperbolicae

Functiones hyperbolicae sunt functiones similes functionibus trigonometricis quae per hyperbolam potius quam per circulum definiri possunt. Nomina sunt sinh, cosh, tanh, sech, csch, coth -- id est, "sinus hyperbolicus" et cetera.

Definitiones usuales cum numero e hae sunt:

$\sinh(u)={\frac {(e^{u}-e^{-u})}{2}}$

$\cosh(u)={\frac {(e^{u} e^{-u})}{2}}$

Alias functiones per sinh et cosh definimus:

$\tanh(u)={\frac {\sinh(u)}{\cosh(u)}}$

$\coth(u)={\frac {\cosh(u)}{\sinh(u)}}$

$\operatorname {sech} (u)={\frac {1}{\cosh(u)}}$

$\operatorname {csch} (u)={\frac {1}{\sinh(u)}}$

Figura rufa est circulus x² y² = 1, et figura caerulea est hyperbola x² - y² = 1. Cum diameter circa originem rotet, pone t esse magnitudinem arcus intra axem x et diametrum. Tunc punctus in diametro et in circulo est (cos(t), sin(t)), et punctus in hyperbola et linea est (cosh(t), sinh(t)).

In circulo cuius aequatio est $x^{2} y^{2}=1$, si (x, y) est punctus, sit θ angulus inter axem x et radium qui in hoc puncto terminat; θ est etiam longitudo arcus quem angulus definit. Tunc x = cos(θ) et y = sin(θ). Functiones trigonometricae ergo etiam "functiones circulares" appellantur. Scimus etiam θ esse duplex areae sectoris circuli inter radium et axem.

Quid de hyperbola et functionibus nostris? Sit (x, y) punctus in hyperbola cuius aequatio est $x^{2}-y^{2}=1$. Figura cuius latera sunt hyperbola, axis x, et linea inter originem et hunc punctum est "sector hyperbolae," similis sectori circuli. Area sectoris est t/2, sicut area sectoris circuli fuit t/2, et longitudo sectoris hyperbolae est t. Dicimus ergo x = cosh(t), y = sinh(t).

Bibliographia

• George B. Thomas, Jr., et Ross L. Finney. Calculus and Analytic Geometry, editio quinta. Reading: Addison-Wesley, 1981.

Nexus interni

• Functio exponentialis

Nexus Externi

Vicimedia Communia plura habent quae ad functiones hyperbolicas spectant.