큰 퍼텐셜

통계역학에서 큰 퍼텐셜(grand potential) 또는 란다우 퍼텐셜(Landau potential)은 큰 바른틀 앙상블의 특성 상태 함수다. 비가역적인 열린 계를 다룰 때 사용한다.

정의

큰 퍼텐셜 $\Phi$ 은 큰 바른틀 앙상블의 특성 상태 함수다. 즉, 큰 분배 함수 $\Xi (T,V,\mu )$ 가 주어지면, 큰 퍼텐셜 $\Phi$ 는 다음과 같다.

\Phi (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\ln \Xi (T,V,\mu )

.

큰 퍼텐셜은 다른 열역학 퍼텐셜과 다음과 같은 관계를 가진다.

\Phi =A-\mu N=U-TS-\mu N

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여기서 $A$ 는 계의 헬름홀츠 자유 에너지, $U$ 는 계의 내부 에너지, $T$ 는 절대 온도, $S$ 는 엔트로피, $\mu$ 는 화학 퍼텐셜, $N$ 은 입자수다.

큰 퍼텐셜의 미분 형태는 다음과 같다.

d\Phi =-SdT-Nd\mu -PdV

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여기서 P는 압력이고, V는 부피이다.

균일한 계(homogeneous system)의 경우에는 (즉, 큰 퍼텐셜이 부피에 비례하는 크기 변수인 경우) 큰 퍼텐셜은 단순히 압력과 부피의 곱의 음수값이다.

\Phi =-PV

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만약 우리가 고려하는 물리계가 열역학적 평형 상태에 있을 때 큰 퍼텐셜은 최소가 된다. 부피가 고정되어 있고 온도와 화학적 퍼텐셜이 변화하지 않는 상황을 생각해 보면 $d\Phi =0$ 임을 쉽게 알 수 있다.

이상 기체의 큰 퍼텐셜은 다음과 같다.

\Phi =-k_{B}T\ln(\Xi )=-k_{B}TZ_{1}e^{\beta \mu }

여기서 $\Xi$ 는 큰 분배 함수이고, k_B는 볼츠만 상수, $Z_{1}$ 은 하나의 입자에 대한 분배 함수이다.