직교

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선분 AB와 CD가 서로 수직이다. 수직

직교(直交, 영어: orthogonality)는 유클리드 기하학의 수직을 일반화한 개념이다. 예를 들어 내적 공간에서, 두 벡터의 내적이 0일 때 두 벡터가 서로 직교한다고 정의한다. 기호는 $\perp$.

어원

Orthogonality라는 단어는 고대 그리스어로 "꼿꼿하다"는 의미의 ὀρθός (orthos)와 "각도"라는 의미의 γωνία (gonia)에서 유래한다. 이 둘의 합성어인 ὀρθογώνιον은 이후 로마에서 orthogonium로 바뀌는데 처음에는 직사각형을 나타내는 단어였다. 이후 이것이 직각삼각형 역시 의미하다가, 12세기에 처음으로 직각 또는 직각의 관계를 나타내는 단어로 사용되었다. 한문으로는 수직하여(直) 만난다(交)는 뜻이다.

정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 및 그 쌍대 가군

$V^{\vee }=\hom _{R}(V,K)$

가 주어졌다고 하자. 가군의 원소 $v\in V$와 쌍대 가군 원소 $f\in V^{\vee }$가 주어졌을 때, 만약

$f(v)=0$

이라면, $v$와 $f$가 서로 직교한다고 한다. 마찬가지로, 부분 가군 $W\subset V$와 쌍대 가군의 부분 가군 $W"\subset V^{\vee }$가 주어졌을 때, 만약 임의의 $v\in W$ 및 $f\in W"$에 대하여 $f(v)=0$이라면, $W$과 $W"$이 서로 직교한다고 한다.

특히, 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위에 비퇴화 쌍선형 형식

$B\colon V\times V\to K$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가군과 쌍대 가군 사이에 다음과 같은 동형 사상을 줄 수 있다.

$V\to V^{\vee }$

$v\mapsto B(v,-)$

따라서, 가군 원소와 쌍대 가군 원소의 직교 대신, 두 가군 원소의 직교를 정의할 수 있다. 구체적으로, 가군의 두 원소 $u,v\in V$가 주어졌을 때, 만약

$B(u,v)=0$

이라면, $u$과 $v$가 서로 직교한다고 한다. 정의에 따라, 직교는 가군 위의 이항 관계를 이룬다. 만약 $B$가 대칭 쌍선형 형식이거나 반대칭 쌍선형 형식이거나 교대 쌍선형 형식이라면, $B$에 대한 직교는 대칭 관계를 이룬다. 그 역은 $K$가 체인 경우 참이지만,^{:17, Proposition 2.7} 일반적으로는 거짓이다. 두 부분 가군 $W,W"\subset V$가 주어졌을 때, 만약 임의의 $u\in W$ 및 $v\in W"$에 대하여 $B(u,v)=0$이라면, $W$와 $W"$이 서로 직교한다고 한다. 부분 집합 $S\subset V$가 주어졌을 때 만약 임의의 서로 다른 원소 $s,s"\in S$에 대하여 $B(s,s")=0$이라면, $S$를 직교 집합(直交集合, 영어: orthogonal set)이라고 한다.

마찬가지로, 비퇴화 반쌍선형 형식에 대한 직교를 정의할 수 있다.

성질

등방 벡터를 포함하지 않는 직교 집합은 항상 선형 독립 집합이다. 특히 내적 공간에서, 영벡터를 포함하지 않는 직교 집합은 항상 선형 독립 집합이다.

예

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에는 표준적인 내적

$\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}$

이 존재한다. 두 벡터 $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}$이 직교할 필요충분조건은 $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$이다.

임의의 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 및 $K\in \{\mathbb {\mathbb {R} } ,\mathbb {C} \}$가 주어졌을 때, L² 공간 $\operatorname {L} ^{2}(X;K)$ 위에는 표준적인 내적

$\langle f,g\rangle =\int _{X}{\bar {f}}g\mathrm {d} \mu$

이 존재한다. 두 가측 함수(의 동치류)가 직교할 필요충분조건은 $\langle f,g\rangle =0$이다.

외부 링크

• “Orthogonality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthogonal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Orthogonality”. 《nLab》 (영어).