유수 (留數)란 주로 복소해석학 에서 통용되는 개념으로서, 어떤 함수
f
{\displaystyle f}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
정의역 내의 어떤 환영역 에 대해 로랑 급수 전개가 주어졌다고 가정할 때 그 주부분의 첫 번째 항, 즉
b
1
{\displaystyle b_{1}}
Res
{\displaystyle \operatorname {Res} }
닫힌 경로
C
{\displaystyle C}
Res
(
f
,
z
0
)
=
b
1
=
1
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})=b_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{f(z)}dz}
환영역의 중심인
z
0
{\displaystyle z_{0}}
고립특이점
z
0
{\displaystyle z_{0}}
만약
z
0
{\displaystyle z_{0}}
제거가능 특이점 이라면, 유수는 정의에 따라
0
{\displaystyle 0}
만약
z
0
{\displaystyle z_{0}}
위수가
n
{\displaystyle n}
이라면, 함수
g
(
z
)
=
(
z
−
z
0
)
n
f
(
z
)
(
z
≠
z
0
)
;
=
b
n
(
z
=
z
0
)
{\displaystyle g(z)=(z-z_{0})^{n}f(z)(z\neq z_{0});=b_{n}(z=z_{0})}
Res
(
f
,
z
0
)
=
g
(
n
−
1
)
(
z
)
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})={\frac {g^{(n-1)}(z)}{(n-1)!}}}
그러나, 만약
z
0
{\displaystyle z_{0}}
진성특이점 이라면, 유수는 각각의 경우마다 달리 계산해야 한다.
유수의 정의를 확장하여, 무한대
n
{\displaystyle n}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
1
z
2
f
(
1
z
)
{\displaystyle {\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
C
{\displaystyle C}
Res
(
1
z
2
f
(
1
z
)
,
0
)
=
1
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{f(z)}dz}
이 때 경로
C
{\displaystyle C}
R
{\displaystyle R}
원 을 그릴 수 있다면, 이것은,
1
z
2
f
(
1
z
)
{\displaystyle {\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)}
0
<
|
z
|
<
1
R
{\displaystyle 0<|z|<{\frac {1}{R}}}
b
1
{\displaystyle b_{1}}
무한대에서
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
로 정의한다. 이것을 이용하면 유수 정리 를,
∑
k
=
1
n
Res
(
f
(
z
)
,
z
k
)
Res
(
f
(
z
)
,
∞
)
=
0
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\operatorname {Res} (f(z),z_{k})} \operatorname {Res} (f(z),\infty )=0}
와 같이 간략하게 쓸 수 있다.
고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005 
