순환소수

순환소수(循環小數, repeating decimal 또는 recurring decimal)는 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 0이 아닌 일정한 숫자의 배열이 끝없이 되풀이 되는 무한소수를 말한다. 예를 들어, $0.4444...$와 같은 소수들을 말한다.

용어

• 순순환소수: ${\frac {1}{3}}=0.333\cdots$과 같이, 소수점 바로 아래부터 순환마디가 반복되는 소수를 말한다.
• 혼순환소수: ${\frac {1}{6}}=0.1666\cdots$과 같이, 소수점 바로 아래부터 순환마디가 반복되지는 않지만, 일정 부분에서 순환마디가 반복되는 소수를 말한다.
• 순환마디: 순환소수에서 일정하게 되풀이 되는 한 부분을 말한다.단 순환마디 길이는 최소여야 한다. 예를 들어, $0.333...$의 순환마디는 3이다.

순환소수 표현 방법

순환소수는 순환마디 양끝에 위치한 숫자들 위에다가 반복되는 숫자 수를 써서 나타낸다.

• 예:

${\frac {1}{3}}=0.333\cdots =0.{\overline {3}}=0.{\dot {3}}$

${\frac {1}{6}}=0.1666\cdots =0.1{\overline {6}}=0.1{\dot {6}}$

${\frac {1}{7}}=0.142857142857142857\cdots =0.{\overline {142857}}=0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}$

${\frac {1}{9}}=0.111\cdots =0.{\overline {1}}=0.{\dot {1}}$

${\frac {1}{12}}=0.08333\cdots =0.08{\overline {3}}=0.08{\dot {3}}$

${\frac {1}{15}}=0.0666\cdots =0.0{\overline {6}}=0.0{\dot {6}}$

표

분수	값	순환마디의 길이	분수	값	순환마디의 길이	분수	값	순환마디의 길이
1/2	0.5	0	1/17	0.0588235294117647	16	1/32	0.03125	0
1/3	0.3	1	1/18	0.05	1	1/33	0.03	2
1/4	0.25	0	1/19	0.052631578947368421	18	1/34	0.02941176470588235	16
1/5	0.2	0	1/20	0.05	0	1/35	0.0285714	6
1/6	0.16	1	1/21	0.047619	6	1/36	0.027	1
1/7	0.142857	6	1/22	0.045	2	1/37	0.027	3
1/8	0.125	0	1/23	0.0434782608695652173913	22	1/38	0.0263157894736842105	18
1/9	0.1	1	1/24	0.0416	1	1/39	0.025641	6
1/10	0.1	0	1/25	0.04	0	1/40	0.025	0
1/11	0.09	2	1/26	0.0384615	6	1/41	0.02439	5
1/12	0.083	1	1/27	0.037	3	1/42	0.0238095	6
1/13	0.076923	6	1/28	0.03571428	6	1/43	0.023255813953488372093	21
1/14	0.0714285	6	1/29	0.0344827586206896551724137931	28	1/44	0.0227	2
1/15	0.06	1	1/30	0.03	1	1/45	0.02	1
1/16	0.0625	0	1/31	0.032258064516129	15	1/46	0.02173913043478260869565	22

1/n의 순환마디의 길이

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (OEIS의 수열 A051626).

1/n의 순환마디

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (OEIS의 수열 A036275).

1/(n번째 소수)의 순환마디의 길이

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (OEIS의 수열 A002371).

1/p의 순환마디의 길이가 n인 가장 작은 소수 p

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99995001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (OEIS의 수열 A007138).

k/p가 n개의 서로 다른 사이클을 갖는 가

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (OEIS의 수열 A054471).

같이 보기

• 소수